Exercice 5

1. Les deux tables sont symétriques par rapport à leur diagonale principale : on lit la même valeur en $(x\,;y)$ et en $(y\,;x)$. $$\boxed{\text{Les deux lois sont commutatives.}}$$

2. Dans les deux tables, la ligne de $e$ reproduit l'en-tête des colonnes, et la colonne de $e$ reproduit l'en-tête des lignes. $$\boxed{\text{Dans les deux cas, } e \text{ est l'élément neutre.}}$$

3. On cherche le neutre $e$ dans chaque ligne. Pour la loi $\ast$ : $a \ast a = b \ast b = c \ast c = e$. Pour la loi $\perp$ : $a \perp a = b \perp b = e$. $$\boxed{\text{Dans les deux cas, tout élément est symétrisable et est son propre symétrique.}}$$

4. On calcule dans la seconde table : $$(a \perp a) \perp b = e \perp b = b \qquad\text{tandis que}\qquad a \perp (a \perp b) = a \perp a = e$$ Comme $b \neq e$, la loi $\perp$ n'est pas associative : l'axiome A échoue. $$\boxed{(F \,;\perp) \text{ n'est pas un groupe, alors que } (E \,;\ast) \text{ en est un.}}$$

5. La ligne de $a$ dans la seconde table est $(a \,;e \,;a)$ : l'élément $a$ y figure deux fois, et $b$ n'y figure pas. Rien de tel dans la première table, où chaque ligne contient chacun des quatre éléments exactement une fois. $$\boxed{\text{La seconde table n'est pas un \emph{carré latin}.}}$$ On démontrera à l'exercice 13 que la table de Cayley d'un groupe fini en est nécessairement un : c'est donc un second argument, plus rapide, pour écarter $(F \,;\perp)$.

Piège : les trois lectures immédiates données par le cours — symétrie, première ligne, présence du neutre dans chaque ligne — ne testent que la commutativité, le neutre et les symétriques. Elles ne disent rien de l'associativité, qui est pourtant l'un des quatre axiomes.