Feuille d'exercicesMaths approfondies, chapitre 3

Groupes

22 exercices corrigés · 8 10 3

Lois de composition interne

Exercice 1 Les correspondances suivantes définissent-elles une loi de composition interne sur l'ensemble indiqué ? Justifier, en exhibant un contre-exemple le…
Exercice 2 Pour chacune des lois suivantes, définies sur ℝ, déterminer si elle est commutative et si elle est associative. 1. x ast y = x+y+xy 2. x ast y =…
Exercice 3 Pour chacune des lois suivantes, étudier dans cet ordre: l'internité, la commutativité, l'associativité, l'existence d'un neutre, puis les éléments…

Exercice 4 Pour chacune des lois suivantes, déterminer l'élément neutre lorsqu'il existe, puis l'ensemble des éléments symétrisables. 1. (ℕ;×) 2. (ℝ;×) 3.…
Exercice 5 On donne ci-dessous les tables de Cayley de deux lois, définies respectivement sur E=e;a;b;c et sur F=e;a;b. On admet que la première loi est…
Exercice 6 On note Δ la différence symétrique définie à l'exercice 4, et l'on pose E=a;b. 1. Dresser la table de Cayley de (P(E);Δ). 2. Cette loi fait-elle de…

Exercice 7 Les ensembles suivants, munis des lois considérées, sont-ils des groupes ? On suivra l'ordre de vérification donné par l'acronyme IANS, et l'on…
Exercice 8 Les ensembles suivants, munis des lois considérées, sont-ils des groupes ? Sont-ils abéliens ? 1. G est l'ensemble des applications de ℝ dans ℝ de…
Exercice 9 On considère la loi de composition interne ast définie sur ℝ^() × ℝ par: ∀ ((x;y);(x';y')) ∈ (ℝ^() × ℝ)^2, (x;y) ast (x';y') = (xx'; xy'+y) 1.…
Exercice 10 On pose G=ℝ setminus -1 et l'on définit sur G la loi ast par: ∀ (x;y) ∈ G^2, x ast y = x+y+xy 1. Vérifier que 1+x ast y=(1+x)(1+y), puis en déduire…
Exercice 11 On pose E=1;2;3 et l'on note S(E) l'ensemble des bijections de E dans E, muni de la composition. 1. Combien S(E) possède-t-il d'éléments ? Décrire…

Exercice 12 Soit (G;·) un groupe de neutre e, et a, b, x des éléments de G. 1. Démontrer que (x^(-1))^(-1)=x. 2. Démontrer que (xyz)^(-1)=z^(-1)y^(-1)x^(-1)…
Exercice 13 Soit (G;·) un groupe de neutre e. 1. Démontrer que pour tous a, x, y de G: ax=ay ⇒ x=y, et xa=ya ⇒ x=y. 2. En déduire que, dans la table de Cayley…
Exercice 14 1. Rappeler la définition du groupe produit de deux groupes, puis démontrer que (ℤ × ℤ;+), muni de l'addition composante par composante, est un…

Exercice 15 Pour chacune des questions suivantes, déterminer si la partie H est un sous-groupe du groupe G. On utilisera la caractérisation en deux points de la…
Exercice 16 Soit n un entier naturel. On pose nℤ=nk | k ∈ ℤ. 1. Démontrer que nℤ est un sous-groupe de (ℤ;+). 2. Que valent 1ℤ et 0ℤ ? 3. Démontrer que nℤ ⊂ mℤ…
Exercice 17 Soient H et K deux sous-groupes d'un groupe (G;·). 1. Démontrer que H ∩ K est un sous-groupe de G. 2. Démontrer que 2ℤ ∪ 3ℤ n'est pas un sous-groupe…
Exercice 18 On pose 𝕌= z ∈ ℂ | |z|=1 et, pour n ∈ ℕ^(), 𝕌_n= z ∈ ℂ | z^n=1. 1. Démontrer que 𝕌 est un sous-groupe de (ℂ^();×). 2. Démontrer que 𝕌_n est un…
Exercice 19 Soit (G;·) un groupe de neutre e. Démontrer que les parties suivantes sont des sous-groupes de G. 1. Le centre de G: C(G)= x ∈ G | ∀ y ∈ G, xy=yx 2.…

Exercice 20 · Vrai ou faux Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. Toute loi de composition interne admet un élément neutre. 2.…
Exercice 21 Soit (G;·) un groupe. Pour tout a ∈ G, on définit la translation à gauche: begin array{r|ccl} tau _a: & G & longrightarrow & G & x & longmapsto & ax…
Exercice 22 Soient H et K deux sous-groupes d'un groupe (G;·). 1. Démontrer que si H ⊂ K ou K ⊂ H, alors H ∪ K est un sous-groupe de G. 2. On suppose désormais…