Exercice 20 Vrai ou faux

1. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ La soustraction sur $\mathbb{Z}$ n'admet pas de neutre : $x-e=x$ impose $e=0$, mais $0-x=-x$ n'est égal à $x$ que si $x=0$. Il faut un neutre des deux côtés.

2. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la proposition 1 du cours : si $e$ et $e'$ sont neutres, le calcul de $e \ast e'$ des deux façons donne $e=e'$.

3. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'unicité, énoncée par la proposition 2, exige que la loi soit associative. C'est cette hypothèse qui autorise le calcul de $y \ast x \ast y'$ sans parenthèses.

4. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ La proposition 3 donne $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$. L'égalité annoncée n'est vraie que si $G$ est abélien (exercice 12, question 5).

5. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ La commutativité ne figure pas dans les axiomes IANS. Les exercices 8, 9 et 11 en fournissent trois contre-exemples.

6. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Les axiomes I, A et N sont satisfaits ; c'est S qui échoue, et c'est précisément ce manque qui motive la construction de $\mathbb{Z}$.

7. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la première condition de la définition. La caractérisation de la proposition 5 la remplace par la non-vacuité, mais le neutre s'en déduit aussitôt.

8. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la question 1 de l'exercice 17.

9. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'ensemble $2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}$ n'est pas stable, puisque $2+3=5$ n'y appartient pas. L'exercice 22 précise exactement quand la réunion est un sous-groupe.

10. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la caractérisation de la proposition 5, celle que l'on utilise en pratique.