Exercice 19

1. Le centre. On a $C(G) \subset G$ par définition, et $e \in C(G)$ puisque $ey=ye=y$ pour tout $y$.

Soient $x$ et $x'$ dans $C(G)$, et $y \in G$. De l'égalité $x'y=yx'$, on tire en multipliant à gauche et à droite par $x'^{-1}$ : $$y\,x'^{-1} = x'^{-1}y$$ On calcule alors, en utilisant successivement cette égalité puis celle vérifiée par $x$ : $$\big(x\,x'^{-1}\big)y = x\big(x'^{-1}y\big) = x\big(y\,x'^{-1}\big) = (xy)\,x'^{-1} = (yx)\,x'^{-1} = y\big(x\,x'^{-1}\big)$$

2. Le conjugué. On a $aHa^{-1} \subset G$, et $e=aea^{-1} \in aHa^{-1}$ puisque $e \in H$.

Soient $aha^{-1}$ et $ah'a^{-1}$ deux éléments de $aHa^{-1}$. D'après l'exercice 12, $\big(ah'a^{-1}\big)^{-1}=a\,h'^{-1}a^{-1}$, d'où : $$\big(aha^{-1}\big)\big(ah'a^{-1}\big)^{-1} = a\,h\,\underbrace{a^{-1}a}_{=\,e}\,h'^{-1}a^{-1} = a\big(h\,h'^{-1}\big)a^{-1}$$ Comme $H$ est un sous-groupe, $h\,h'^{-1} \in H$, donc ce produit appartient à $aHa^{-1}$. $$\boxed{aHa^{-1} \text{ est un sous-groupe de } G.}$$

3. Les éléments de torsion. On a $T(G) \subset G$, et $e \in T(G)$ car $e^{1}=e$ avec $1 \in \mathbb{N}^{*}$.

Soient $x$ et $y$ dans $T(G)$, avec $x^{n}=e$ et $y^{m}=e$ pour certains $n$ et $m$ de $\mathbb{N}^{*}$. Comme $G$ est abélien, on peut développer la puissance d'un produit : $$\big(xy^{-1}\big)^{nm} = x^{nm}\big(y^{-1}\big)^{nm} = \big(x^{n}\big)^{m}\Big(\big(y^{m}\big)^{n}\Big)^{-1} = e$$ et $nm \in \mathbb{N}^{*}$, donc $xy^{-1} \in T(G)$. $$\boxed{T(G) \text{ est un sous-groupe de } G.}$$

Où sert la commutativité ? Uniquement à écrire $\big(xy^{-1}\big)^{k}=x^{k}\big(y^{-1}\big)^{k}$. Dans un groupe quelconque, $(xy)^{2}=xyxy$ ne se simplifie pas en $x^{2}y^{2}$, et $T(G)$ peut alors ne pas être un sous-groupe.