Exercice 18

1. Si $|z|=1$ alors $z \neq 0$, donc $\mathbb{U} \subset \mathbb{C}^{*}$. De plus $|1|=1$, donc $1 \in \mathbb{U}$. Soient $z$ et $w$ dans $\mathbb{U}$ : $$\big|zw^{-1}\big| = \frac{|z|}{|w|} = \frac{1}{1} = 1$$

2. Si $z^{n}=1$ alors $z \neq 0$, donc $\mathbb{U}_{n} \subset \mathbb{C}^{*}$, et $1^{n}=1$ donne $1 \in \mathbb{U}_{n}$. Soient $z$ et $w$ dans $\mathbb{U}_{n}$ : $$\big(zw^{-1}\big)^{n} = z^{n}\big(w^{n}\big)^{-1} = 1$$ Enfin, si $z^{n}=1$, alors $|z|^{n}=1$ ; comme $|z|$ est un réel strictement positif, cela impose $|z|=1$. $$\boxed{\mathbb{U}_{n} \text{ est un sous-groupe de } (\mathbb{C}^{*} \,;\times), \text{ et } \mathbb{U}_{n} \subset \mathbb{U}.}$$

3. Supposons $m=nq$ avec $q \in \mathbb{N}^{*}$, et soit $z \in \mathbb{U}_{n}$. Alors : $$z^{m} = z^{nq} = \big(z^{n}\big)^{q} = 1^{q} = 1$$

4. On résout $z^{4}=1$. Les quatre solutions sont : $$\boxed{\mathbb{U}_{4}=\{1 \,;\mathrm{i} \,;-1 \,;-\mathrm{i}\}}$$ C'est exactement l'ensemble dont le cours dresse la table de Cayley. On retrouve donc, mais cette fois par une démonstration générale, que cette table est bien celle d'un groupe.