Exercice 17

1. On a $H \cap K \subset G$. De plus $e \in H$ et $e \in K$, donc $e \in H \cap K$, qui n'est pas vide. Soient enfin $x$ et $y$ dans $H \cap K$. Comme $H$ est un sous-groupe, $xy^{-1} \in H$ ; comme $K$ en est un, $xy^{-1} \in K$. Donc $xy^{-1} \in H \cap K$. $$\boxed{H \cap K \text{ est un sous-groupe de } G.}$$

2. On a $2 \in 2\mathbb{Z}$ et $3 \in 3\mathbb{Z}$, donc tous deux appartiennent à $2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}$. Pourtant $2+3=5$ n'est ni pair ni multiple de $3$. $$\boxed{2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z} \text{ n'est pas stable, donc n'est pas un sous-groupe de } (\mathbb{Z} \,;+).}$$

3. Soit $(H_{i})_{i \in I}$ une famille de sous-groupes de $G$, et $H=\bigcap_{i \in I} H_{i}$. Chaque $H_{i}$ contient $e$, donc $H$ aussi. Soient $x$ et $y$ dans $H$ : pour tout $i \in I$, on a $x \in H_{i}$ et $y \in H_{i}$, donc $xy^{-1} \in H_{i}$. Ceci valant pour tout $i$, on obtient $xy^{-1} \in H$. $$\boxed{\text{Oui : une intersection quelconque de sous-groupes est un sous-groupe.}}$$ L'asymétrie avec la réunion mérite d'être notée : l'intersection se comporte bien, la réunion non. C'est l'objet de l'exercice 22.