Exercice 16

1. On a $n\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}$, et $0=n \times 0 \in n\mathbb{Z}$. Soient $x=nk$ et $y=nk'$ dans $n\mathbb{Z}$ : $$x-y = n(k-k') \in n\mathbb{Z}$$

2. On applique la définition avec $n=1$ puis $n=0$ : $$\boxed{1\mathbb{Z}=\mathbb{Z} \qquad\text{et}\qquad 0\mathbb{Z}=\{0\}}$$ Ce sont les deux sous-groupes « extrêmes » : le groupe tout entier et le sous-groupe trivial.

3. Sens direct. Supposons $n\mathbb{Z} \subset m\mathbb{Z}$. Comme $n=n \times 1 \in n\mathbb{Z}$, on a $n \in m\mathbb{Z}$ : il existe $q \in \mathbb{Z}$ tel que $n=mq$, donc $m$ divise $n$.

Réciproque. Supposons $n=mq$ avec $q \in \mathbb{Z}$. Tout élément de $n\mathbb{Z}$ s'écrit $nk=m(qk)$ avec $qk \in \mathbb{Z}$, donc appartient à $m\mathbb{Z}$. $$\boxed{n\mathbb{Z} \subset m\mathbb{Z} \iff m \text{ divise } n}$$ Piège : l'inclusion et la divisibilité vont en sens inverse. Plus $n$ est grand au sens de la divisibilité, plus $n\mathbb{Z}$ est petit.

4. Un entier appartient à $4\mathbb{Z} \cap 6\mathbb{Z}$ s'il est à la fois multiple de $4$ et de $6$, donc multiple de leur plus petit commun multiple $12$ ; réciproquement tout multiple de $12$ convient. $$\boxed{4\mathbb{Z} \cap 6\mathbb{Z} = 12\mathbb{Z} \qquad\text{et}\qquad 4\mathbb{Z} \cap 5\mathbb{Z} = 20\mathbb{Z}}$$