Exercice 15

On applique la méthode du cours : inclusion, non-vacuité, puis stabilité par $xy^{-1}$.

1. On a $H=2\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}$, et $0=2 \times 0 \in H$. Soient $x=2k$ et $y=2k'$ dans $H$. La loi étant additive, le symétrique de $y$ est $-y$, et : $$x-y = 2k-2k' = 2(k-k') \qquad\text{avec } k-k' \in \mathbb{Z}$$

2. L'entier $0$ est pair, donc n'appartient pas à $H$. $$\boxed{H \text{ n'est pas un sous-groupe : il ne contient pas le neutre.}}$$ On pouvait aussi invoquer la stabilité : $1$ et $3$ sont impairs, mais $1-3=-2$ ne l'est pas.

3. On a bien $0 \in H$, mais $H$ n'est pas stable : $0 \in H$ et $5 \in H$, alors que $0-5=-5 \notin H$. $$\boxed{H \text{ n'est pas un sous-groupe de } (\mathbb{R} \,;+).}$$

4. On a $\mathbb{Q}^{*} \subset \mathbb{R}^{*}$, et $1 \in \mathbb{Q}^{*}$. Soient $x$ et $y$ dans $\mathbb{Q}^{*}$ : le quotient $\dfrac{x}{y}$ est un rationnel non nul. $$\boxed{\mathbb{Q}^{*} \text{ est un sous-groupe de } (\mathbb{R}^{*} \,;\times).}$$

5. On a $H \subset \mathbb{C}^{*}$, et $1 \in H$ car $1^{1}=1$. Soient $z$ et $w$ dans $H$, avec $z^{n}=1$ et $w^{m}=1$ pour certains $n$ et $m$ de $\mathbb{N}^{*}$. Alors $nm \in \mathbb{N}^{*}$ et : $$\big(zw^{-1}\big)^{nm} = z^{nm}\big(w^{nm}\big)^{-1} = \big(z^{n}\big)^{m}\Big(\big(w^{m}\big)^{n}\Big)^{-1} = 1 \times 1 = 1$$

$$\boxed{H \text{ est un sous-groupe de } (\mathbb{C}^{*} \,;\times).}$$ Cet ensemble est la réunion des $\mathbb{U}_{n}$ de l'exercice 18 : c'est l'ensemble des racines de l'unité.

6. Inclusion. Montrons d'abord que $H \subset \mathbb{R}^{*}$, c'est-à-dire qu'un élément de $H$ n'est jamais nul. Supposons $a+b\sqrt{2}=0$ avec $(a\,;b) \neq (0\,;0)$. Si $b=0$, alors $a=0$ : exclu. Donc $b \neq 0$ et $\sqrt{2}=-\dfrac{a}{b} \in \mathbb{Q}$, ce qui contredit l'irrationalité de $\sqrt{2}$.

Non-vacuité. $1=1+0\sqrt{2} \in H$.

Stabilité. Soient $x=a+b\sqrt{2}$ et $y=c+d\sqrt{2}$ dans $H$. Le même argument que ci-dessus montre que $c^{2}-2d^{2} \neq 0$, et l'on calcule : $$y^{-1} = \frac{1}{c+d\sqrt{2}} = \frac{c-d\sqrt{2}}{c^{2}-2d^{2}} = \frac{c}{c^{2}-2d^{2}} - \frac{d}{c^{2}-2d^{2}}\sqrt{2}$$ qui est de la forme voulue, à coefficients rationnels non tous nuls. Enfin : $$(a+b\sqrt{2})(p+q\sqrt{2}) = (ap+2bq)+(aq+bp)\sqrt{2}$$ est encore de cette forme, et non nul comme produit de deux réels non nuls. $$\boxed{H \text{ est un sous-groupe de } (\mathbb{R}^{*} \,;\times).}$$