Exercice 14

1. D'après la proposition 4, le groupe produit de $(G \,;\cdot)$ et $(H \,;\ast)$ est $G \times H$ muni de la loi $(x\,;y) \perp (x'\,;y') = (x \cdot x' \,;\, y \ast y')$. Ici, avec $G=H=(\mathbb{Z}\,;+)$ :

Internité : la somme de deux entiers est un entier, sur chaque composante. Associativité : elle vaut composante par composante, car $+$ est associative sur $\mathbb{Z}$. Neutre : $(0\,;0)$. Symétrique de $(a\,;b)$ : $(-a\,;-b)$. $$\boxed{(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \,;+) \text{ est un groupe abélien, de neutre } (0\,;0).}$$

2. C'est le groupe produit de $(\mathbb{R} \,;+)$ et de $(\mathbb{R}^{*} \,;\times)$, tous deux groupes. $$\boxed{\text{C'est un groupe, de neutre } (0\,;1), \text{ le symétrique de } (x\,;y) \text{ étant } \left(-x \,;\, \dfrac{1}{y}\right).}$$

3. Soient $(x\,;y)$ et $(x'\,;y')$ dans $G \times H$, avec $G$ et $H$ abéliens : $$(x\,;y) \perp (x'\,;y') = (x \cdot x' \,;\, y \ast y') = (x' \cdot x \,;\, y' \ast y) = (x'\,;y') \perp (x\,;y)$$

4. Dans un groupe produit, chaque composante du résultat ne dépend que des composantes correspondantes. Or la seconde composante de $(x\,;y) \ast (x'\,;y')$ vaut $xy'+y$ : elle fait intervenir $x$, qui appartient à la première composante. $$\boxed{\text{Non : } \ast \text{ n'est pas la loi produit.}}$$ Un second argument, décisif : $(\mathbb{R}^{*} \,;\times)$ et $(\mathbb{R} \,;+)$ étant abéliens, leur groupe produit le serait aussi d'après la question 3, alors que $\big(\mathbb{R}^{*} \times \mathbb{R} \,;\ast\big)$ ne l'est pas.