Exercice 13

1. Supposons $ax=ay$. En multipliant à gauche par $a^{-1}$, qui existe puisque $G$ est un groupe : $$a^{-1}(ax)=a^{-1}(ay) \quad\Longrightarrow\quad \big(a^{-1}a\big)x=\big(a^{-1}a\big)y \quad\Longrightarrow\quad ex=ey \quad\Longrightarrow\quad x=y$$ Le raisonnement est symétrique pour $xa=ya$, en multipliant cette fois à droite. $$\boxed{\text{Tout élément d'un groupe est régulier, à gauche comme à droite.}}$$

2. La ligne de $a$ dans la table est constituée des éléments $ax$, pour $x$ parcourant $G$. Si deux d'entre eux coïncident, disons $ax=ay$, la régularité donne $x=y$ : deux cases distinctes ne peuvent donc pas contenir le même élément. Comme la ligne compte exactement autant de cases que $G$ a d'éléments, chacun y figure exactement une fois. Le raisonnement est identique pour les colonnes. $$\boxed{\text{La table de Cayley d'un groupe fini est un carré latin.}}$$

3. Dans la seconde table de l'exercice 5, la ligne de $a$ est $(a \,;e \,;a)$ : l'élément $a$ y figure deux fois. $$\boxed{\text{Cette table ne peut donc pas être celle d'un groupe.}}$$ C'est un critère bien plus rapide que la recherche d'un contre-exemple à l'associativité.

4. Si $x^{2}=e$, alors $x \cdot x = e$, donc $x$ est son propre symétrique : $x^{-1}=x$. Soient alors $x$ et $y$ dans $G$. En appliquant ce résultat à $xy$, puis la propriété 3 : $$xy = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} = yx$$

5. Deux exemples déjà rencontrés conviennent : $$\boxed{\big(\mathcal{P}(E) \,;\Delta\big) \text{ de l'exercice 6, et le groupe } \{f_{1} \,;f_{2} \,;f_{3} \,;f_{4}\} \text{ de l'exercice 8.}}$$ On peut ajouter le groupe $(E \,;\ast)$ de la première table de l'exercice 5 : ces trois groupes ont la même table, aux noms près.