Exercice 12

1. Les égalités $x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = e$ montrent que $x$ est un symétrique de $x^{-1}$. La loi étant associative, la proposition 2 assure l'unicité du symétrique : $$\boxed{\big(x^{-1}\big)^{-1}=x}$$

2. On applique deux fois la propriété 3, en traitant $xyz$ comme $(xy)z$ : $$(xyz)^{-1} = \big((xy)z\big)^{-1} = z^{-1}(xy)^{-1} = \boxed{z^{-1}y^{-1}x^{-1}}$$

3. En multipliant à gauche par $a^{-1}$, puis à droite pour la seconde équation : $$ax=b \iff a^{-1}ax=a^{-1}b \iff \boxed{x=a^{-1}b} \qquad\qquad xa=b \iff \boxed{x=ba^{-1}}$$

4. D'après la question 2 et la question 1 : $$\big(aba^{-1}\big)^{-1} = \big(a^{-1}\big)^{-1}b^{-1}a^{-1} = \boxed{ab^{-1}a^{-1}}$$ Pour la puissance, on remarque que les facteurs intérieurs se simplifient deux à deux : $$\big(aba^{-1}\big)^{2} = ab\underbrace{a^{-1}a}_{=\,e}ba^{-1} = ab^{2}a^{-1}$$ et une récurrence immédiate donne : $$\boxed{\big(aba^{-1}\big)^{n} = ab^{n}a^{-1}}$$

5. Si $G$ est abélien, alors $y^{-1}x^{-1}=x^{-1}y^{-1}$, et la propriété 3 donne : $$\boxed{(xy)^{-1}=x^{-1}y^{-1}}$$ Piège : cette égalité est fausse en général. C'est bien $y^{-1}x^{-1}$ qu'il faut écrire, l'inversion renversant l'ordre.