Exercice 11

1. Une bijection de $E$ dans $E$ est déterminée par le triplet $\big(\sigma(1)\,;\sigma(2)\,;\sigma(3)\big)$, dont les trois coordonnées sont distinctes et prises dans $\{1\,;2\,;3\}$. Il y a $3$ choix pour $\sigma(1)$, puis $2$, puis $1$. $$\boxed{\mathcal{S}(E) \text{ possède } 3 \times 2 \times 1 = 6 \text{ éléments.}}$$

2. On vérifie les quatre axiomes, les trois premiers reposant sur le chapitre 2.

• I : la composée de deux bijections est une bijection.

• A : la composition des applications est associative.

• N : $\mathrm{Id}_{E}$ est bijective et neutre pour $\circ$.

• S : si $\sigma$ est bijective, sa réciproque $\sigma^{-1}$ l'est aussi et vérifie $\sigma \circ \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \circ \sigma = \mathrm{Id}_{E}$.

3. On calcule image par image, en se souvenant que $\sigma \circ \tau$ applique $\tau$ en premier : $$(\sigma \circ \tau)(1)=\sigma(1)=2 \qquad (\sigma \circ \tau)(2)=\sigma(3)=3 \qquad (\sigma \circ \tau)(3)=\sigma(2)=1$$

4. Le symétrique de $\sigma$ est sa bijection réciproque. Les quatre premiers éléments listés ci-dessous vérifient $\sigma \circ \sigma = \mathrm{Id}$, les deux derniers s'échangent. $$\boxed{\begin{array}{l} (1\,;2\,;3), \; (1\,;3\,;2), \; (2\,;1\,;3) \text{ et } (3\,;2\,;1) \text{ sont leur propre symétrique ;} \\[1mm] (2\,;3\,;1) \text{ et } (3\,;1\,;2) \text{ sont symétriques l'un de l'autre.} \end{array}}$$