Exercice 10

1. On développe : $$1+x \ast y = 1+x+y+xy = (1+x)(1+y)$$ Si $x \neq -1$ et $y \neq -1$, alors $1+x \neq 0$ et $1+y \neq 0$, donc $1+x \ast y \neq 0$, c'est-à-dire $x \ast y \neq -1$. $$\boxed{\ast \text{ est une loi interne sur } G=\mathbb{R} \setminus \{-1\}.}$$

2. Commutativité. L'expression $x+y+xy$ est symétrique en $x$ et $y$.

Associativité. En appliquant deux fois l'identité de la question 1 : $$1+(x \ast y) \ast z = \big(1+x \ast y\big)(1+z) = (1+x)(1+y)(1+z)$$ expression symétrique en $x$, $y$ et $z$. Donc $(x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z)$.

Neutre. On a $x \ast 0 = x+0+0 = x$, et $0 \in G$ : le neutre est $0$.

Symétrique. On cherche $y \in G$ tel que $x \ast y = 0$, c'est-à-dire $(1+x)(1+y)=1$, soit : $$1+y = \frac{1}{1+x} \qquad\text{donc}\qquad y = \frac{1}{1+x}-1 = \frac{-x}{1+x}$$ Ce réel appartient bien à $G$ : si l'on avait $\dfrac{-x}{1+x}=-1$, il viendrait $-x=-1-x$, ce qui est absurde. $$\boxed{(G \,;\ast) \text{ est un groupe abélien de neutre } 0, \text{ le symétrique de } x \text{ étant } \dfrac{-x}{1+x}.}$$

3. Posons $\varphi : x \mapsto 1+x$. C'est une bijection de $G=\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ sur $\mathbb{R}^{*}$, de réciproque $t \mapsto t-1$, et la question 1 s'écrit : $$\varphi(x \ast y) = \varphi(x) \times \varphi(y)$$

$$\boxed{\begin{array}{l} \text{La loi } \ast \text{ n'est que la multiplication de } \mathbb{R}^{*}, \text{ transportée sur } G \text{ par la bijection } \varphi. \\[1mm] \text{Les deux groupes sont «\,les mêmes\,», à ce changement de nom près.} \end{array}}$$ C'est le même phénomène qu'à l'exercice 3, question 3, où l'addition de $\mathbb{Z}$ était déguisée par $x \mapsto x-3$.