Exercice 9

1. Internité. Si $x$ et $x'$ sont non nuls, $xx'$ l'est aussi, et $xy'+y$ est un réel.

Associativité. Les deux parenthésages donnent la même chose : $$\big((x\,;y) \ast (x'\,;y')\big) \ast (x''\,;y'') = (xx'\,;xy'+y) \ast (x''\,;y'') = \big(xx'x'' \,;\, xx'y''+xy'+y\big)$$

Neutre. On vérifie $(x\,;y) \ast (1\,;0) = (x \,;\, 0+y) = (x\,;y)$ et $(1\,;0) \ast (x\,;y) = (x \,;\, y+0) = (x\,;y)$.

Symétrique. On résout $(x\,;y) \ast (x'\,;y') = (1\,;0)$, soit $xx'=1$ et $xy'+y=0$, d'où $x'=\dfrac{1}{x}$ et $y'=-\dfrac{y}{x}$. On vérifie que ce couple convient aussi à gauche.

Enfin $(2\,;0) \ast (1\,;1) = (2\,;2)$ alors que $(1\,;1) \ast (2\,;0) = (2\,;1)$. $$\boxed{\big(\mathbb{R}^{*} \times \mathbb{R} \,;\ast\big) \text{ est un groupe non abélien.}}$$

2. On applique la définition de la loi : $$(x\,;y)^{2} = (x\,;y) \ast (x\,;y) = \big(x^{2} \,;\, xy+y\big) = \boxed{\big(x^{2} \,;\, y(x+1)\big)}$$

3. On conjecture, en notant $S_{n}=1+x+\dots+x^{n-1}$ : $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad (x\,;y)^{n} = \big(x^{n} \,;\, y\,S_{n}\big)}$$ Démonstration par récurrence. La formule est vraie pour $n=1$, où $S_{1}=1$. Supposons-la vraie au rang $n$ : $$(x\,;y)^{n+1} = (x\,;y)^{n} \ast (x\,;y) = \big(x^{n} \,;\, y\,S_{n}\big) \ast (x\,;y) = \big(x^{n+1} \,;\, x^{n}y+y\,S_{n}\big) = \big(x^{n+1} \,;\, y\,S_{n+1}\big)$$ puisque $S_{n}+x^{n}=S_{n+1}$. La formule est donc vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$.

4. La somme $S_{n}$ est celle des termes d'une suite géométrique de raison $x$. $$\boxed{\text{Si } x \neq 1 \;:\; (x\,;y)^{n} = \left(x^{n} \,;\, y\,\dfrac{x^{n}-1}{x-1}\right) \qquad\text{et si } x=1 \;:\; (1\,;y)^{n} = (1 \,;\, ny)}$$