Exercice 8

1. Notons $f_{a,b} : x \mapsto ax+b$, avec $a \in \mathbb{R}^{*}$ et $b \in \mathbb{R}$.

Internité. Pour tous $(a\,;b)$ et $(c\,;d)$ convenables : $$\big(f_{a,b} \circ f_{c,d}\big)(x) = a(cx+d)+b = (ac)x+(ad+b)$$ donc $f_{a,b} \circ f_{c,d} = f_{ac,\,ad+b}$, avec $ac \in \mathbb{R}^{*}$ : la loi est interne.

Associativité. C'est celle de la composition des applications.

Neutre. $f_{1,0}=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}}$ appartient à $G$.

Symétrique. On cherche $f_{a',b'}$ telle que $f_{a,b} \circ f_{a',b'} = f_{1,0}$, soit $aa'=1$ et $ab'+b=0$, d'où $a'=\dfrac{1}{a}$ et $b'=-\dfrac{b}{a}$. On vérifie que $f_{\frac{1}{a},-\frac{b}{a}}$ convient aussi de l'autre côté.

Enfin $f_{2,0} \circ f_{1,1} = f_{2,2}$ tandis que $f_{1,1} \circ f_{2,0} = f_{2,1}$. $$\boxed{(G \,;\circ) \text{ est un groupe non abélien.}}$$

2. La somme de deux fonctions croissantes est croissante, l'addition des fonctions est associative, et la fonction nulle est croissante et neutre. En revanche, si $f$ est croissante et non constante, $-f$ est décroissante et n'appartient pas à $G$ : par exemple $f=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}}$ n'a pas d'opposé dans $G$. $$\boxed{\text{Ce n'est pas un groupe : l'axiome \textbf{S} échoue.}}$$

3. On dresse la table de Cayley, en calculant par exemple $f_{2} \circ f_{3}(x)=f_{2}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x}=f_{4}(x)$.

La table ne fait intervenir que des éléments de $G$ : la loi est interne. Elle est associative comme composition d'applications, admet $f_{1}=\mathrm{Id}$ pour neutre, et chaque élément est son propre symétrique. $$\boxed{(G \,;\circ) \text{ est un groupe abélien à quatre éléments.}}$$ On reconnaît, aux noms près, la table obtenue à l'exercice 6 : ce sont « les mêmes » quatre éléments.

4. Soient $x$ et $y$ dans $]-1\,;1[$. Alors $|xy|<1$, donc $1+xy>0$, et : $$1-x \star y = \frac{(1+xy)-(x+y)}{1+xy} = \frac{(1-x)(1-y)}{1+xy} > 0 \qquad 1+x \star y = \frac{(1+x)(1+y)}{1+xy} > 0$$ Donc $-1 < x \star y < 1$ : la loi est interne. Elle est visiblement commutative, et un calcul donne : $$(x \star y) \star z = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz} = x \star (y \star z)$$ Le neutre est $0$, et le symétrique de $x$ est $-x$, qui appartient bien à $]-1\,;1[$. $$\boxed{(G \,;\star) \text{ est un groupe abélien.}}$$

5. La loi est interne sur $\mathbb{R}^{2}$. Un calcul donne, pour les deux parenthésages : $$y\,\mathrm{e}^{x'+x''} + y'\,\mathrm{e}^{x''-x} + y''\,\mathrm{e}^{-x-x'}$$ en seconde composante, et $x+x'+x''$ en première : la loi est associative. Le neutre est $(0\,;0)$, puisque : $$(x\,;y) \diamond (0\,;0) = \big(x \,;\, y\,\mathrm{e}^{0}+0\big)=(x\,;y) \qquad\text{et}\qquad (0\,;0) \diamond (x\,;y) = \big(x \,;\, 0+y\,\mathrm{e}^{0}\big)=(x\,;y)$$ Le symétrique de $(x\,;y)$ est $(-x\,;-y)$, car $y\,\mathrm{e}^{-x}+(-y)\,\mathrm{e}^{-x}=0$. Enfin : $$(1\,;0) \diamond (0\,;1) = \big(1 \,;\, \mathrm{e}^{-1}\big) \qquad\text{tandis que}\qquad (0\,;1) \diamond (1\,;0) = \big(1 \,;\, \mathrm{e}\big)$$