ExerciceMaths approfondies, chapitre 3 — Groupes · Groupes

Exercice 7

Calcul

Les ensembles suivants, munis des lois considérées, sont-ils des groupes ? On suivra l'ordre de vérification donné par l'acronyme IANS, et l'on précisera le cas échéant lequel des quatre axiomes échoue.

1. $(\mathbb{N} \,;+)$

2. $(\mathbb{N} \,;\times)$

3. $(\mathbb{Z} \,;+)$

4. $(\mathbb{Z} \,;\times)$

5. $(n\mathbb{Z} \,;+)$ , où $n \in \mathbb{N}^{*}$

6. $(\mathbb{R} \,;+)$

7. $(\mathbb{R} \,;\times)$

8. $(\mathbb{R}^{*} \,;\times)$

9. $\big(\mathbb{R}^{\mathbb{R}} \,;\circ\big)$

10. $\big(\mathbb{R}^{\mathbb{R}} \,;+\big)$

Préciser enfin lesquels de ces groupes sont abéliens.

Corrigé

On suit l'ordre IANS et l'on s'arrête au premier axiome qui échoue.

	Groupe ?	Justification
$(\mathbb{N} \,;+)$	non	S échoue : $3$ n'a pas d'opposé dans $\mathbb{N}$ .
$(\mathbb{N} \,;\times)$	non	S échoue : $2$ n'a pas d'inverse dans $\mathbb{N}$ .
$(\mathbb{Z} \,;+)$	oui	Groupe abélien de neutre $0$ , le symétrique de $x$ étant $-x$ .
$(\mathbb{Z} \,;\times)$	non	S échoue : $2$ n'a pas d'inverse dans $\mathbb{Z}$ .
$(n\mathbb{Z} \,;+)$	oui	Groupe abélien de neutre $0$  ; $nk+nk'=n(k+k')$ et $-nk=n(-k)$ .
$(\mathbb{R} \,;+)$	oui	Groupe abélien de neutre $0$ .
$(\mathbb{R} \,;\times)$	non	S échoue : $0$ n'a pas d'inverse.
$(\mathbb{R}^{*} \,;\times)$	oui	Groupe abélien de neutre $1$ , le symétrique de $x$ étant $\frac{1}{x}$ .
$\big(\mathbb{R}^{\mathbb{R}} \,;\circ\big)$	non	S échoue : seules les bijections sont symétrisables (exercice 4).
$\big(\mathbb{R}^{\mathbb{R}} \,;+\big)$	oui	Groupe abélien de neutre la fonction nulle, le symétrique de $f$ étant $-f$ .

\boxed{\text{Les cinq groupes obtenus sont tous abéliens.}}

Piège : il ne faut pas confondre «  $\mathbb{N}$ n'est pas un groupe pour $+$  » avec « l'addition n'est pas associative sur $\mathbb{N}$  ». Les trois premiers axiomes sont satisfaits ; c'est le quatrième, et lui seul, qui fait défaut. C'est précisément ce manque qui motive la construction de $\mathbb{Z}$ .

Énoncé PDF, p. 2 Corrigé PDF, p. 5 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Groupes

Thèmes

groupes, groupes abéliens

Notions

groupe