Exercice 6

1. L'ensemble $\mathcal{P}(E)$ compte quatre éléments : $\varnothing$, $\{a\}$, $\{b\}$ et $E=\{a\,;b\}$. On calcule chaque différence symétrique, par exemple $\{a\} \,\Delta\, \{b\} = \{a\,;b\}$ et $\{a\} \,\Delta\, E = \{b\}$.

2. La table est symétrique, la ligne de $\varnothing$ reproduit l'en-tête, et $\varnothing$ figure une fois dans chaque ligne : la loi est commutative, de neutre $\varnothing$, et tout élément est symétrisable. L'associativité étant admise : $$\boxed{\big(\mathcal{P}(E) \,;\Delta\big) \text{ est un groupe abélien à quatre éléments.}}$$

3. Les deux groupes ont quatre éléments, mais ne se comportent pas de la même façon. Dans $\big(\mathcal{P}(E) \,;\Delta\big)$, tout élément est son propre symétrique ; dans $\{1 \,;\mathrm{i} \,;-1 \,;-\mathrm{i}\}$, seuls $1$ et $-1$ le sont, puisque $\mathrm{i} \times \mathrm{i} = -1 \neq 1$. $$\boxed{\text{Non : ces deux groupes d'ordre } 4 \text{ ne sont pas de même nature.}}$$ On retrouvera la première table à l'exercice 8, avec des fonctions à la place des parties.