Exercice 21

1. Pour tout $x \in G$ : $$\big(\tau_{a} \circ \tau_{a^{-1}}\big)(x) = a\big(a^{-1}x\big) = \big(aa^{-1}\big)x = x \qquad \big(\tau_{a^{-1}} \circ \tau_{a}\big)(x) = a^{-1}(ax) = x$$ Les deux composées valent $\mathrm{Id}_{G}$, ce qui prouve d'après le chapitre 2 que $\tau_{a}$ est bijective. $$\boxed{\tau_{a} \text{ est bijective, de bijection réciproque } \tau_{a^{-1}}.}$$

2. Pour tout $x \in G$, l'associativité donne : $$\big(\tau_{a} \circ \tau_{b}\big)(x) = a(bx) = (ab)x = \tau_{ab}(x) \qquad\text{donc}\qquad \boxed{\tau_{a} \circ \tau_{b} = \tau_{ab}}$$

3. D'après la question 1, chaque $\tau_{a}$ est une bijection de $G$ : on a bien $T \subset \mathcal{S}(G)$. De plus $\tau_{e}=\mathrm{Id}_{G}$ appartient à $T$, qui n'est donc pas vide. Soient enfin $\tau_{a}$ et $\tau_{b}$ dans $T$. La question 1 donne $\tau_{b}^{-1}=\tau_{b^{-1}}$, puis la question 2 : $$\tau_{a} \circ \tau_{b}^{-1} = \tau_{a} \circ \tau_{b^{-1}} = \tau_{ab^{-1}} \in T$$

4. Soient $a$ et $b$ dans $G$ tels que $\tau_{a}=\tau_{b}$. Ces deux applications prenant la même valeur en tout point, évaluons-les en $e$ : $$a = ae = \tau_{a}(e) = \tau_{b}(e) = be = b$$

5. L'application $\Phi$ est injective et son image est exactement $T$ : elle réalise donc une bijection de $G$ sur $T$. De plus, la question 2 montre qu'elle transporte la loi de $G$ sur la composition : $\Phi(ab)=\Phi(a) \circ \Phi(b)$. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Tout groupe est «\,le même\,» qu'un sous-groupe d'un groupe de bijections.} \\[1mm] \text{C'est le \emph{théorème de Cayley}.} \end{array}}$$ Autrement dit, l'étude des groupes abstraits ne dit rien de plus que celle des groupes de bijections — ce qui justifie a posteriori l'importance du groupe symétrique rencontré à l'exercice 11.