Exercice 22

1. Si $H \subset K$, alors $H \cup K = K$, qui est un sous-groupe de $G$ par hypothèse. Si $K \subset H$, alors $H \cup K = H$, qui en est un également. $$\boxed{\text{Dans les deux cas, } H \cup K \text{ est un sous-groupe de } G.}$$

2. (a) On a $h \in H \subset H \cup K$ et $k \in K \subset H \cup K$. Comme $H \cup K$ est supposé être un sous-groupe, il est stable par la loi : $$\boxed{hk \in H \cup K}$$

(b) Supposons par l'absurde que $hk \in K$. Comme $K$ est un sous-groupe et que $k \in K$, on a $k^{-1} \in K$, puis : $$h = h\big(kk^{-1}\big) = (hk)k^{-1} \in K$$ ce qui contredit le choix de $h$, pris dans $H$ mais pas dans $K$. $$\boxed{hk \notin K}$$

(c) D'après (a) et (b), on a nécessairement $hk \in H$. Comme $h \in H$, on a aussi $h^{-1} \in H$, donc : $$k = \big(h^{-1}h\big)k = h^{-1}(hk) \in H$$ Cet argument valant pour tout $k$ de $K$ : $$\boxed{K \subset H}$$

3. La question 1 donne un sens, la question 2 l'autre : si $H \cup K$ est un sous-groupe et si $H \not\subset K$, alors $K \subset H$. $$\boxed{H \cup K \text{ est un sous-groupe de } G \iff H \subset K \;\text{ ou }\; K \subset H}$$

4. On a $2 \in 2\mathbb{Z}$ mais $2 \notin 3\mathbb{Z}$, donc $2\mathbb{Z} \not\subset 3\mathbb{Z}$ ; et $3 \in 3\mathbb{Z}$ mais $3 \notin 2\mathbb{Z}$, donc $3\mathbb{Z} \not\subset 2\mathbb{Z}$. Aucune des deux inclusions n'a lieu : $$\boxed{2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z} \text{ n'est pas un sous-groupe de } (\mathbb{Z} \,;+).}$$ On retrouve le résultat de l'exercice 17, sans avoir eu besoin d'exhiber le contre-exemple $2+3=5$.