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ExerciceMaths approfondies, chapitre 4 — Morphismes · Morphismes de groupes

Exercice 1

Démonstration

Les applications suivantes sont-elles des morphismes de groupes ? Justifier, en exhibant un contre-exemple le cas échéant.

1. f:(ℝ ;+)⟶(ℝ ;+)x⟼3x\begin{array}{r|ccl} f : & (\mathbb{R}\,;+) & \longrightarrow & (\mathbb{R}\,;+) \\ & x & \longmapsto & 3x \end{array}

2. f:(ℝ ;+)⟶(ℝ ;+)x⟼x+1\begin{array}{r|ccl} f : & (\mathbb{R}\,;+) & \longrightarrow & (\mathbb{R}\,;+) \\ & x & \longmapsto & x+1 \end{array}

3. f:(ℝ ;+)⟶(ℝ ;+)x⟼x2\begin{array}{r|ccl} f : & (\mathbb{R}\,;+) & \longrightarrow & (\mathbb{R}\,;+) \\ & x & \longmapsto & x^{2} \end{array}

4. f:(ℝ∗ ;×)⟶(ℝ∗ ;×)x⟼x2\begin{array}{r|ccl} f : & (\mathbb{R}^{*}\,;\times) & \longrightarrow & (\mathbb{R}^{*}\,;\times) \\ & x & \longmapsto & x^{2} \end{array}

5. f:(ℂ ;+)⟶(ℂ ;+)z⟼z‾\begin{array}{r|ccl} f : & (\mathbb{C}\,;+) & \longrightarrow & (\mathbb{C}\,;+) \\ & z & \longmapsto & \overline{z} \end{array}

6. f:(ℂ∗ ;×)⟶(ℝ+∗ ;×)z⟼∣z∣\begin{array}{r|ccl} f : & (\mathbb{C}^{*}\,;\times) & \longrightarrow & (\mathbb{R}_{+}^{*}\,;\times) \\ & z & \longmapsto & |z| \end{array}

7. f:(ℝ+∗ ;×)⟶(ℝ ;+)x⟼ln⁡(x)\begin{array}{r|ccl} f : & (\mathbb{R}_{+}^{*}\,;\times) & \longrightarrow & (\mathbb{R}\,;+) \\ & x & \longmapsto & \ln(x) \end{array}

8. f:(ℤ ;+)⟶(ℤ ;+)k⟼5k\begin{array}{r|ccl} f : & (\mathbb{Z}\,;+) & \longrightarrow & (\mathbb{Z}\,;+) \\ & k & \longmapsto & 5k \end{array}

9. f:(ℤ ;+)⟶(ℤ ;+)k⟼k+5\begin{array}{r|ccl} f : & (\mathbb{Z}\,;+) & \longrightarrow & (\mathbb{Z}\,;+) \\ & k & \longmapsto & k+5 \end{array}

10. f:(ℝ ;+)⟶(ℝ+∗ ;×)x⟼ex\begin{array}{r|ccl} f : & (\mathbb{R}\,;+) & \longrightarrow & (\mathbb{R}_{+}^{*}\,;\times) \\ & x & \longmapsto & \mathrm{e}^{x} \end{array}

11. f:(ℝ∗ ;×)⟶(ℝ∗ ;×)x⟼1x\begin{array}{r|ccl} f : & (\mathbb{R}^{*}\,;\times) & \longrightarrow & (\mathbb{R}^{*}\,;\times) \\ & x & \longmapsto & \dfrac{1}{x} \end{array}

12. f:(ℝ∗ ;×)⟶(ℝ ;+)x⟼ln⁡∣x∣\begin{array}{r|ccl} f : & (\mathbb{R}^{*}\,;\times) & \longrightarrow & (\mathbb{R}\,;+) \\ & x & \longmapsto & \ln|x| \end{array}

Corrigé

Il s'agit à chaque fois de comparer f(x⋅y)f(x \cdot y) et f(x)∗f(y)f(x) \ast f(y), en prenant garde aux deux lois, qui ne sont pas toujours les mêmes au départ et à l'arrivée.

1. Pour tous réels xx et yy : 3(x+y)=3x+3y3(x+y)=3x+3y. Morphisme.\boxed{\text{Morphisme.}}

2. On a f(x+y)=x+y+1f(x+y)=x+y+1 alors que f(x)+f(y)=x+y+2f(x)+f(y)=x+y+2. Non : prendre x=y=0.\boxed{\text{Non : prendre } x=y=0.}

3. On a f(1+1)=4f(1+1)=4 alors que f(1)+f(1)=2f(1)+f(1)=2. Non.\boxed{\text{Non.}}

4. Pour tous réels non nuls : (xy)2=x2y2(xy)^{2}=x^{2}y^{2}. Morphisme.\boxed{\text{Morphisme.}}

5. La conjugaison vérifie z+z′‾=z‾+z′‾\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}. Morphisme.\boxed{\text{Morphisme.}}

6. Le module vérifie ∣zz′∣=∣z∣ ∣z′∣|zz'|=|z|\,|z'|, et ∣z∣>0|z|>0 pour z≠0z \neq 0. Morphisme.\boxed{\text{Morphisme.}}

7. Le logarithme vérifie ln⁡(xy)=ln⁡(x)+ln⁡(y)\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y) sur ℝ+∗\mathbb{R}_{+}^{*}. Morphisme.\boxed{\text{Morphisme.}}

8. Pour tous entiers : 5(k+k′)=5k+5k′5(k+k')=5k+5k'. Morphisme.\boxed{\text{Morphisme.}}

9. On a f(0+0)=5f(0+0)=5 alors que f(0)+f(0)=10f(0)+f(0)=10. Non.\boxed{\text{Non.}}

10. L'exponentielle vérifie ex+y=ex ey\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{y}. Morphisme.\boxed{\text{Morphisme.}}

11. Pour tous réels non nuls : 1xy=1x×1y\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{x} \times \dfrac{1}{y}. Morphisme.\boxed{\text{Morphisme.}}

12. Pour tous réels non nuls : ln⁡∣xy∣=ln⁡(∣x∣ ∣y∣)=ln⁡∣x∣+ln⁡∣y∣\ln|xy|=\ln\big(|x|\,|y|\big)=\ln|x|+\ln|y|. Morphisme.\boxed{\text{Morphisme.}}

Piège des questions 3 et 4 : c'est la même formule x↦x2x \mapsto x^{2}, mais pas les mêmes lois. Elle respecte la multiplication, pas l'addition : la propriété dépend des trois composantes de l'application, comme au chapitre 2.

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Dans l'édifice

Morphismes de groupes

Thèmes

morphismes de groupes, exponentielle et logarithme

Notions

morphisme de groupes

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