Feuille d'exercicesMaths approfondies, chapitre 4

Morphismes

20 exercices corrigés · 7 10 2

Morphismes de groupes

Exercice 1 Les applications suivantes sont-elles des morphismes de groupes ? Justifier, en exhibant un contre-exemple le cas échéant. 1. begin array{r|ccl} f:…
Exercice 2 Reprendre les applications de l'exercice 1 qui sont des morphismes, et préciser pour chacune s'il s'agit d'un endomorphisme, d'un isomorphisme, d'un…
Exercice 3 Soit (G;·) un groupe. 1. Démontrer que l'application iota: x ↦ x^(-1) est un morphisme de G dans G si et seulement si G est abélien. 2. Démontrer de…

Exercice 4 Soit f: (G;·) longrightarrow (H;ast) un morphisme de groupes. 1. Démontrer par récurrence que f (x^n)=f(x)^n pour tout x ∈ G et tout n ∈ ℕ, puis…
Exercice 5 1. Soient f: (ℝ;+) → (ℝ_(+)^();×), x ↦ e^x et g: (ℝ_(+)^();×) → (ℝ;+), x ↦ ln (x). Identifier g ∘ f et f ∘ g. 2. Soient f: G → H et g: H → K deux…
Exercice 6 Soit (G;·) un groupe. Pour tout g ∈ G, on définit l'application: begin array{r|ccl} φ_g: & G & longrightarrow & G & h & longmapsto & ghg^(-1) end…
Exercice 7 Dans chacun des cas suivants, démontrer que les deux groupes sont isomorphes en exhibant un isomorphisme explicite. 1. (ℝ;+) et (ℝ_(+)^();×). 2.…
Exercice 8 1. Démontrer que le seul réel x vérifiant x+x=0 est x=0. 2. Donner un réel y différent de 1 vérifiant y × y = 1. 3. On suppose qu'il existe un…

Exercice 9 On pose G=1; i;-1;- i et H=1;-1, tous deux munis de la multiplication des complexes. On admet que G est un groupe. On considère l'application f: z ↦…
Exercice 10 Pour chacune des applications suivantes, déterminer s'il s'agit d'un morphisme de groupes. Le cas échéant, préciser son image et son noyau. 1. begin…
Exercice 11 Déterminer le noyau et l'image de chacun des morphismes suivants, rencontrés à l'exercice 1. 1. x ↦ 3x de (ℝ;+) dans (ℝ;+) 2. x ↦ x^2 de (ℝ^();×)…
Exercice 12 La proposition 3 du cours affirme que le noyau et l'image d'un morphisme sont des sous-groupes. L'exploiter pour retrouver, sans aucune vérification…
Exercice 13 1. Démontrer qu'une application f: ℤ → ℤ est un morphisme de (ℤ;+) dans lui-même si et seulement s'il existe a ∈ ℤ tel que f(x)=ax pour tout x ∈ ℤ.…
Exercice 14 On considère l'ensemble: H= (a;b) ∈ ℤ^2 | a-b est pair 1. Démontrer que H est un sous-groupe de (ℤ^2;+). 2. On considère l'application: begin…

Exercice 15 Pour chacun des morphismes suivants, déterminer le noyau puis l'image, et conclure quant à l'injectivité et à la surjectivité en appliquant le…
Exercice 16 Soit f: (G;·) longrightarrow (H;ast) un morphisme de groupes. 1. Soit G' un sous-groupe de G. Démontrer que f(G') est un sous-groupe de H. 2. Soit…
Exercice 17 1. Démontrer que k ↦ 2k est un endomorphisme de (ℤ;+), injectif mais non surjectif. 2. En déduire que (ℤ;+) et (2ℤ;+) sont isomorphes, bien que 2ℤ…

Exercice 18 · Vrai ou faux Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Dans tout l'exercice, f désigne un morphisme du groupe (G;·)…
Exercice 19 On munit ℝ^2 de la loi ast définie par: ∀ ((x;y);(x';y')) ∈ (ℝ^2)^2, (x;y) ast (x';y') = (xx'-yy'; xy'+x'y) On note enfin C= (x;y) ∈ ℝ^2 | x^2+y^2=1…
Exercice 20 Soit (G;·) un groupe de neutre e, et a un élément de G. On admet que a^(m+n)=a^m · a^n pour tous entiers relatifs m et n, et l'on considère: begin…