Exercice 14

1. On a $H \subset \mathbb{Z}^{2}$, et $(0\,;0) \in H$ puisque $0-0=0$ est pair. Soient $(a\,;b)$ et $(a'\,;b')$ dans $H$. Alors : $$(a\,;b)-(a'\,;b')=(a-a' \,;\, b-b') \qquad\text{et}\qquad (a-a')-(b-b')=(a-b)-(a'-b')$$ qui est une différence de deux entiers pairs, donc un entier pair. $$\boxed{H \text{ est un sous-groupe de } (\mathbb{Z}^{2}\,;+).}$$

2. $f$ est bien à valeurs dans $H$. Pour tout $(u\,;v) \in \mathbb{Z}^{2}$ : $(2u+v)-v=2u$, qui est pair.

Morphisme. Pour tous $(u\,;v)$ et $(u'\,;v')$ : $$f\big((u\,;v)+(u'\,;v')\big)=\big(2(u+u')+(v+v') \,;\, v+v'\big)=(2u+v \,;\, v)+(2u'+v' \,;\, v')$$

Injectivité. Soit $(u\,;v) \in \mathrm{Ker}\, f$, c'est-à-dire $2u+v=0$ et $v=0$. La seconde équation donne $v=0$, puis la première $u=0$. Donc $\mathrm{Ker}\, f=\{(0\,;0)\}$.

Surjectivité. Soit $(a\,;b) \in H$. Comme $a-b$ est pair, l'entier $u=\dfrac{a-b}{2}$ est bien dans $\mathbb{Z}$. En posant $v=b$ : $$f(u\,;v)=\big(2u+v \,;\, v\big)=\big((a-b)+b \,;\, b\big)=(a\,;b)$$

3. L'isomorphisme construit à la question précédente donne : $$\boxed{H \text{ et } \mathbb{Z}^{2} \text{ sont isomorphes, bien que } H \text{ soit une partie \emph{stricte} de } \mathbb{Z}^{2}.}$$ En effet $(1\,;0) \notin H$. On retrouve le phénomène signalé par le cours à propos de $\mathbb{Z}$ et $n\mathbb{Z}$, et repris à l'exercice 17.