Exercice 15

1. Le neutre d'arrivée est $1$, et $\mathrm{e}^{x}=1$ équivaut à $x=0$. Par ailleurs tout réel strictement positif $y$ s'écrit $\mathrm{e}^{\ln(y)}$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f=\{0\} \text{ et } \mathrm{Im}\, f=\mathbb{R}_{+}^{*} \text{ : } f \text{ est un isomorphisme.}}$$

2. Le neutre d'arrivée est $1$, et $|z|=1$ définit $\mathbb{U}$. Tout réel $r>0$ est le module du complexe $r$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, g=\mathbb{U} \text{ et } \mathrm{Im}\, g=\mathbb{R}_{+}^{*} \text{ : } g \text{ est surjectif, non injectif.}}$$

3. Le neutre d'arrivée est $0$, et $3k=0$ équivaut à $k=0$. L'image est l'ensemble des multiples de $3$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, h=\{0\} \text{ et } \mathrm{Im}\, h=3\mathbb{Z} \neq \mathbb{Z} \text{ : } h \text{ est injectif, non surjectif.}}$$

4. On a $x+y=0$ si et seulement si $y=-x$. Et tout réel $z$ s'écrit $z+0$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, u=\big\{(x\,;-x) \;|\; x \in \mathbb{R}\big\} \text{ et } \mathrm{Im}\, u=\mathbb{R} \text{ : } u \text{ est surjectif, non injectif.}}$$

5. On a $(x\,;2x)=(0\,;0)$ si et seulement si $x=0$. L'image est la droite d'équation $y=2x$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, v=\{0\} \text{ et } \mathrm{Im}\, v=\big\{(x\,;2x) \;|\; x \in \mathbb{R}\big\} \neq \mathbb{R}^{2} \text{ : } v \text{ est injectif, non surjectif.}}$$ Le point $(1\,;0)$, par exemple, n'a pas d'antécédent.