Exercice 16

1. On a $f(G') \subset H$. De plus $e_{G} \in G'$ et $f(e_{G})=e_{H}$, donc $e_{H} \in f(G')$, qui n'est pas vide.

Soient $y$ et $y'$ dans $f(G')$ : il existe $x$ et $x'$ dans $G'$ tels que $y=f(x)$ et $y'=f(x')$. Alors, en utilisant la propriété 1 puis la définition d'un morphisme : $$y \ast y'^{-1}=f(x) \ast f(x')^{-1}=f(x) \ast f\big(x'^{-1}\big)=f\big(x \cdot x'^{-1}\big)$$ et $x \cdot x'^{-1}$ appartient à $G'$, qui est un sous-groupe. $$\boxed{f(G') \text{ est un sous-groupe de } H.}$$

2. On a $f^{-1}(H') \subset G$. De plus $f(e_{G})=e_{H} \in H'$, donc $e_{G} \in f^{-1}(H')$.

Soient $x$ et $x'$ dans $f^{-1}(H')$, c'est-à-dire $f(x) \in H'$ et $f(x') \in H'$. Alors : $$f\big(x \cdot x'^{-1}\big)=f(x) \ast f(x')^{-1} \in H'$$ puisque $H'$ est un sous-groupe. Donc $x \cdot x'^{-1} \in f^{-1}(H')$. $$\boxed{f^{-1}(H') \text{ est un sous-groupe de } G.}$$

3. Soit $x \in \mathrm{Ker}\, f$. Alors $f(x)=e_{H}$, et $e_{H} \in H'$ puisque $H'$ est un sous-groupe de $H$. Donc $x \in f^{-1}(H')$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f \subset f^{-1}(H')}$$

4. Il suffit de particulariser : $$\boxed{\mathrm{Im}\, f=f(G) \text{ (question 1 avec } G'=G) \qquad \mathrm{Ker}\, f=f^{-1}\big(\{e_{H}\}\big) \text{ (question 2 avec } H'=\{e_{H}\})}$$ L'ensemble $\{e_{H}\}$ est bien un sous-groupe de $H$, et $G$ est un sous-groupe de lui-même : la proposition 3 est donc un cas particulier des deux premières questions.