Exercice 17

1. L'application $k \mapsto 2k$ vérifie $2(k+k')=2k+2k'$ : c'est un endomorphisme de $(\mathbb{Z}\,;+)$. Son noyau est $\{k \in \mathbb{Z} \mid 2k=0\}=\{0\}$, donc elle est injective ; son image est $2\mathbb{Z}$, et l'entier $1$ n'a pas d'antécédent. $$\boxed{\text{C'est un endomorphisme injectif et non surjectif de } (\mathbb{Z}\,;+).}$$

2. En restreignant l'ensemble d'arrivée à $2\mathbb{Z}$, l'application devient surjective sans cesser d'être injective ni d'être un morphisme. $$\boxed{(\mathbb{Z}\,;+) \text{ et } (2\mathbb{Z}\,;+) \text{ sont isomorphes.}}$$ Pourtant $2\mathbb{Z}$ est une partie stricte de $\mathbb{Z}$, puisque $1 \notin 2\mathbb{Z}$.

3. Au chapitre 2, on avait construit une bijection de $\mathbb{N}$ sur l'ensemble des entiers naturels pairs : les deux ensembles avaient donc « autant » d'éléments. Ici on obtient davantage : un isomorphisme, qui respecte en outre la loi de groupe. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Un ensemble infini peut être en bijection avec une de ses parties strictes ;} \\[1mm] \text{un groupe infini peut être isomorphe à l'un de ses sous-groupes stricts.} \end{array}}$$

4. Si $G$ est fini et $f$ injectif, alors $f$ réalise une bijection de $G$ sur $\mathrm{Im}\, f$, qui possède donc autant d'éléments que $G$. Comme $\mathrm{Im}\, f \subset G$ et que $G$ est fini, il vient $\mathrm{Im}\, f=G$. $$\boxed{\text{Non : pour un groupe fini, tout endomorphisme injectif est surjectif.}}$$ C'est précisément la finitude qui interdit à un ensemble d'être en bijection avec une partie stricte.