Exercice 18 Vrai ou faux

1. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la propriété 1 du cours, démontrée en appliquant $f$ à l'égalité $e_{G} \cdot e_{G}=e_{G}$.

2. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'application $x \mapsto x^{2}$ de $(\mathbb{R}\,;+)$ dans $(\mathbb{R}\,;+)$ envoie $0$ sur $0$, sans être un morphisme (exercice 1). Le test du neutre élimine, il ne valide pas.

3. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la proposition 3.

4. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'image est un sous-groupe de $H$, l'ensemble d'arrivée. Elle n'est en général même pas incluse dans $G$.

5. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est le théorème 1, et c'est lui que l'on utilise en pratique.

6. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est le premier point de la propriété 2.

7. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est le second point de la propriété 2.

8. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ L'exponentielle en est un, de réciproque le logarithme (exercice 7).

9. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Ce n'est vrai que si $G$ est abélien, comme l'établit l'exercice 3. Dans $\mathcal{S}\big(\{1\,;2\,;3\}\big)$, c'est faux.

10. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Les groupes $(\mathbb{Z}\,;+)$ et $(2\mathbb{Z}\,;+)$ sont isomorphes (exercice 17), et $2\mathbb{Z}$ est une partie stricte de $\mathbb{Z}$.