Exercice 9

1. On a $H \subset G$, et $1 \in H$. De plus, pour $z$ et $z'$ dans $H=\{1\,;-1\}$, le produit $zz'^{-1}$ vaut $1$ ou $-1$ : $H$ est bien un sous-groupe de $G$. Enfin : $$1^{2}=1 \qquad \mathrm{i}^{2}=-1 \qquad (-1)^{2}=1 \qquad (-\mathrm{i})^{2}=-1$$

2. La multiplication des complexes étant commutative, pour tous $z$ et $z'$ de $G$ : $$f(zz')=(zz')^{2}=z^{2}z'^{2}=f(z)\,f(z')$$

3. Sur le diagramme, deux flèches arrivent sur $1$ et deux sur $-1$. Le noyau est l'ensemble des éléments envoyés sur le neutre $1$ de $H$, et l'image l'ensemble des éléments atteints. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f = \{1 \,;-1\} \qquad\text{et}\qquad \mathrm{Im}\, f = \{1 \,;-1\} = H}$$ On le retrouve par le calcul : $z^{2}=1$ équivaut à $z \in \{1\,;-1\}$, et le tableau des quatre carrés montre que les deux valeurs $1$ et $-1$ sont atteintes.

4. Le noyau contient deux éléments, donc n'est pas réduit au neutre ; l'image est l'ensemble d'arrivée tout entier. $$\boxed{f \text{ n'est pas injectif, mais il est surjectif.}}$$