Exercice 10

1. Pour tous complexes non nuls, $|zz'|=|z|\,|z'|$ : $f_{1}$ est un morphisme. Son image est l'ensemble des modules de complexes non nuls, c'est-à-dire les réels strictement positifs ; son noyau est l'ensemble des complexes de module $1$. $$\boxed{f_{1} \text{ est un morphisme, } \mathrm{Im}\, f_{1}=\mathbb{R}_{+}^{*} \text{ et } \mathrm{Ker}\, f_{1}=\mathbb{U}.}$$ L'ensemble d'arrivée étant $\mathbb{R}^{*}$, ce morphisme n'est pas surjectif ; il n'est pas injectif non plus.

2. Pour tous $(a\,;b)$ et $(a'\,;b')$ de $\mathbb{Z}^{2}$ : $$f_{2}\big((a\,;b)+(a'\,;b')\big)=(a+a')-(b+b')=(a-b)+(a'-b')=f_{2}(a\,;b)+f_{2}(a'\,;b')$$ Tout entier $a$ est atteint, par exemple par $(a\,;0)$, et $a-b=0$ équivaut à $a=b$. $$\boxed{f_{2} \text{ est un morphisme, } \mathrm{Im}\, f_{2}=\mathbb{Z} \text{ et } \mathrm{Ker}\, f_{2}=\big\{(a\,;a) \;|\; a \in \mathbb{Z}\big\}.}$$

3. Le logarithme vérifie $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$, atteint tout réel, et ne s'annule qu'en $1$. $$\boxed{f_{3} \text{ est un morphisme, } \mathrm{Im}\, f_{3}=\mathbb{R} \text{ et } \mathrm{Ker}\, f_{3}=\{1\} \text{ : c'est un isomorphisme.}}$$