ExerciceMaths approfondies, chapitre 4 — Morphismes · Noyau et image

Exercice 11

Calcul

Déterminer le noyau et l'image de chacun des morphismes suivants, rencontrés à l'exercice 1.

1. $x \mapsto 3x$ de $(\mathbb{R}\,;+)$ dans $(\mathbb{R}\,;+)$

2. $x \mapsto x^{2}$ de $(\mathbb{R}^{*}\,;\times)$ dans $(\mathbb{R}^{*}\,;\times)$

3. $z \mapsto \overline{z}$ de $(\mathbb{C}\,;+)$ dans $(\mathbb{C}\,;+)$

4. $k \mapsto 5k$ de $(\mathbb{Z}\,;+)$ dans $(\mathbb{Z}\,;+)$

5. $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ de $(\mathbb{R}^{*}\,;\times)$ dans $(\mathbb{R}^{*}\,;\times)$

6. $x \mapsto \ln|x|$ de $(\mathbb{R}^{*}\,;\times)$ dans $(\mathbb{R}\,;+)$

Corrigé

On cherche à chaque fois les antécédents du neutre d'arrivée, puis l'ensemble des valeurs atteintes.

\textbf{1.} \; \boxed{\mathrm{Ker}\, = \{0\} \quad;\quad \mathrm{Im}\, = \mathbb{R}} \qquad\qquad \textbf{2.} \; \boxed{\mathrm{Ker}\, = \{-1 \,;1\} \quad;\quad \mathrm{Im}\, = \mathbb{R}_{+}^{*}}

\textbf{3.} \; \boxed{\mathrm{Ker}\, = \{0\} \quad;\quad \mathrm{Im}\, = \mathbb{C}} \qquad\qquad \textbf{4.} \; \boxed{\mathrm{Ker}\, = \{0\} \quad;\quad \mathrm{Im}\, = 5\mathbb{Z}}

\textbf{5.} \; \boxed{\mathrm{Ker}\, = \{1\} \quad;\quad \mathrm{Im}\, = \mathbb{R}^{*}} \qquad\qquad \textbf{6.} \; \boxed{\mathrm{Ker}\, = \{-1 \,;1\} \quad;\quad \mathrm{Im}\, = \mathbb{R}}

Piège : le noyau est l'ensemble des antécédents du neutre d'arrivée, qui vaut $0$ pour une loi additive et $1$ pour une loi multiplicative. Aux questions 2 et 5, chercher les $x$ tels que $x^{2}=0$ ou $\frac{1}{x}=0$ n'aurait aucun sens.

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Dans l'édifice

Morphismes de groupes

Thèmes

morphismes de groupes, noyau, image, exponentielle et logarithme

Notions

morphisme de groupes, noyau