Exercice 12

Dans chaque cas, il suffit d'exhiber le bon morphisme : la proposition 3 fait le reste.

1. L'application $z \mapsto |z|$ est un morphisme de $(\mathbb{C}^{*}\,;\times)$ dans $(\mathbb{R}_{+}^{*}\,;\times)$, dont le noyau est $\mathbb{U}$. $$\boxed{\mathbb{U} \text{ est un sous-groupe de } (\mathbb{C}^{*}\,;\times).}$$

2. L'application $k \mapsto nk$ est un endomorphisme de $(\mathbb{Z}\,;+)$, d'image $n\mathbb{Z}$. $$\boxed{n\mathbb{Z} \text{ est un sous-groupe de } (\mathbb{Z}\,;+).}$$

3. L'application $f_{2} : (a\,;b) \mapsto a-b$ de l'exercice 10 est un morphisme de $(\mathbb{Z}^{2}\,;+)$ dans $(\mathbb{Z}\,;+)$, de noyau $\big\{(a\,;a) \;|\; a \in \mathbb{Z}\big\}$. $$\boxed{\big\{(a\,;a) \;|\; a \in \mathbb{Z}\big\} \text{ est un sous-groupe de } (\mathbb{Z}^{2}\,;+).}$$

4. L'application $x \mapsto x^{2}$ est un endomorphisme de $(\mathbb{R}^{*}\,;\times)$, d'image $\mathbb{R}_{+}^{*}$. $$\boxed{\mathbb{R}_{+}^{*} \text{ est un sous-groupe de } (\mathbb{R}^{*}\,;\times).}$$

Ces quatre résultats avaient demandé, au chapitre 3, autant de vérifications séparées. Un seul théorème les remplace toutes : c'est exactement le gain annoncé par le cours.