Exercice 8

1. Si $x+x=0$, alors $2x=0$, et comme $2 \neq 0$ dans $\mathbb{R}$, il vient $x=0$. $$\boxed{\text{Le seul réel vérifiant } x+x=0 \text{ est } 0.}$$

2. Un tel réel existe : $$\boxed{y=-1 \text{ convient, car } (-1) \times (-1)=1 \text{ et } -1 \neq 1.}$$

3. Supposons qu'un tel isomorphisme $f$ existe. Comme $f$ est un morphisme : $$f(-1)+f(-1)=f\big((-1) \times (-1)\big)=f(1)=0$$ la dernière égalité venant de la propriété 1, le neutre de $(\mathbb{R}^{*}\,;\times)$ étant $1$ et celui de $(\mathbb{R}\,;+)$ étant $0$. D'après la question 1, on en déduit $f(-1)=0=f(1)$. Or $f$ est injectif, donc $-1=1$ : c'est absurde. $$\boxed{(\mathbb{R}^{*}\,;\times) \text{ et } (\mathbb{R}\,;+) \text{ ne sont pas isomorphes.}}$$

4. L'argument repose entièrement sur l'existence, dans $\mathbb{R}^{*}$, d'un élément différent du neutre et égal à son propre inverse. Or dans $\mathbb{R}_{+}^{*}$, l'équation $y^{2}=1$ avec $y>0$ n'a que la solution $y=1$ : l'argument tombe. $$\boxed{\text{Non : et de fait, } (\mathbb{R}_{+}^{*}\,;\times) \text{ et } (\mathbb{R}\,;+) \text{ sont isomorphes par l'exponentielle.}}$$ Méthode à retenir : pour montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes, on cherche une propriété préservée par tout isomorphisme — ici le nombre d'éléments égaux à leur propre symétrique — et vraie dans l'un, fausse dans l'autre.