Exercice 7

1. L'exponentielle vérifie $\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{y}$ et réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$, de réciproque $\ln$. $$\boxed{x \mapsto \mathrm{e}^{x} \text{ est un isomorphisme de } (\mathbb{R}\,;+) \text{ sur } (\mathbb{R}_{+}^{*}\,;\times).}$$

2. Posons $f : k \mapsto nk$, de $\mathbb{Z}$ dans $n\mathbb{Z}$. C'est un morphisme, car $n(k+k')=nk+nk'$. Son noyau est $\{k \in \mathbb{Z} \mid nk=0\}=\{0\}$ puisque $n \neq 0$, donc $f$ est injectif ; et tout élément de $n\mathbb{Z}$ s'écrit $nk$ par définition, donc $f$ est surjectif. $$\boxed{k \mapsto nk \text{ est un isomorphisme de } (\mathbb{Z}\,;+) \text{ sur } (n\mathbb{Z}\,;+).}$$

3. Posons $\varphi : x \mapsto 1+x$. L'identité établie au chapitre 3 donne, pour tous $x$ et $y$ de $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ : $$\varphi(x \ast y)=1+x+y+xy=(1+x)(1+y)=\varphi(x) \times \varphi(y)$$ De plus $\varphi$ est une bijection de $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ sur $\mathbb{R}^{*}$, de réciproque $t \mapsto t-1$. $$\boxed{\varphi \text{ est un isomorphisme de } \big(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\,;\ast\big) \text{ sur } (\mathbb{R}^{*}\,;\times).}$$

4. Posons $\psi : x \mapsto x-3$. Pour tous entiers $x$ et $y$ : $$\psi(x \perp y)=(x+y-3)-3=(x-3)+(y-3)=\psi(x)+\psi(y)$$ et $\psi$ est bijective de $\mathbb{Z}$ sur $\mathbb{Z}$, de réciproque $t \mapsto t+3$. $$\boxed{\psi \text{ est un isomorphisme de } (\mathbb{Z}\,;\perp) \text{ sur } (\mathbb{Z}\,;+).}$$ Les questions 3 et 4 confirment ce que le chapitre 3 laissait pressentir : ces lois inhabituelles ne sont que des lois connues, transportées par un changement de nom des éléments.