Exercice 6

1. Soient $h$ et $h'$ dans $G$. En intercalant $g^{-1}g=e$ : $$\varphi_{g}(hh')=g\,hh'\,g^{-1}=g\,h\,\underbrace{g^{-1}g}_{=\,e}\,h'\,g^{-1}=\big(ghg^{-1}\big)\big(gh'g^{-1}\big)=\varphi_{g}(h)\,\varphi_{g}(h')$$

2. Pour tout $h \in G$ : $$\big(\varphi_{g} \circ \varphi_{g^{-1}}\big)(h)=g\big(g^{-1}hg\big)g^{-1}=h \qquad \big(\varphi_{g^{-1}} \circ \varphi_{g}\big)(h)=g^{-1}\big(ghg^{-1}\big)g=h$$ Les deux composées valent $\mathrm{Id}_{G}$ : $$\boxed{\varphi_{g} \text{ est bijective, et } \varphi_{g}^{-1}=\varphi_{g^{-1}}.}$$

3. Les deux questions précédentes se combinent : $$\boxed{\varphi_{g} \text{ est un endomorphisme bijectif de } G \text{ : c'est un automorphisme.}}$$

4. On enchaîne les équivalences : $$\varphi_{g}=\mathrm{Id}_{G} \iff \forall h \in G, \; ghg^{-1}=h \iff \forall h \in G, \; gh=hg$$ la dernière équivalence s'obtenant en multipliant à droite par $g$. $$\boxed{\varphi_{g}=\mathrm{Id}_{G} \iff g \in C(G)}$$

5. Pour tous $g$, $g'$ et $h$ de $G$ : $$\big(\varphi_{g} \circ \varphi_{g'}\big)(h)=g\big(g'hg'^{-1}\big)g^{-1}=(gg')\,h\,\big(g'^{-1}g^{-1}\big)=(gg')\,h\,(gg')^{-1}=\varphi_{gg'}(h)$$ en utilisant la propriété 3 du chapitre 3 pour l'inverse d'un produit. $$\boxed{\varphi_{g} \circ \varphi_{g'}=\varphi_{gg'}, \text{ donc } \Phi : g \mapsto \varphi_{g} \text{ est un morphisme de } (G\,;\cdot) \text{ dans } \big(\mathrm{Aut}(G)\,;\circ\big).}$$ D'après la question 4, le noyau de $\Phi$ est exactement le centre $C(G)$. On retrouve ainsi, par la proposition 3, que $C(G)$ est un sous-groupe de $G$ — résultat établi à la main au chapitre 3.