Exercice 5

1. Pour tout réel $x$, $\ln\big(\mathrm{e}^{x}\big)=x$, et pour tout réel $x>0$, $\mathrm{e}^{\ln(x)}=x$. $$\boxed{g \circ f = \mathrm{Id}_{\mathbb{R}} \qquad\text{et}\qquad f \circ g = \mathrm{Id}_{\mathbb{R}_{+}^{*}}}$$ Les applications $f$ et $g$ sont donc réciproques l'une de l'autre : ce sont deux isomorphismes.

2. La composée $g \circ f$ est un morphisme d'après la propriété 2 du cours, et elle est bijective comme composée de deux bijections (chapitre 2). $$\boxed{g \circ f \text{ est un isomorphisme de } G \text{ sur } K.}$$

3. Un automorphisme de $G$ étant en particulier une bijection de $G$ dans $G$, on a $\mathrm{Aut}(G) \subset \mathcal{S}(G)$.

L'application $\mathrm{Id}_{G}$ est bijective, et c'est un morphisme puisque $\mathrm{Id}_{G}(xy)=xy=\mathrm{Id}_{G}(x)\,\mathrm{Id}_{G}(y)$ : elle appartient à $\mathrm{Aut}(G)$, qui n'est donc pas vide.

Soient enfin $f$ et $h$ dans $\mathrm{Aut}(G)$. D'après la propriété 2, $h^{-1}$ est un morphisme, et c'est une bijection : $h^{-1} \in \mathrm{Aut}(G)$. La question 2 donne alors que $f \circ h^{-1}$ est un automorphisme. $$\boxed{\mathrm{Aut}(G) \text{ est un sous-groupe de } \mathcal{S}(G).}$$