Exercice 20

1. Pour tous entiers relatifs $m$ et $n$, la relation admise donne : $$\varphi_{a}(m+n)=a^{m+n}=a^{m} \cdot a^{n}=\varphi_{a}(m) \cdot \varphi_{a}(n)$$

2. L'ensemble $\big\{a^{n} \;|\; n \in \mathbb{Z}\big\}$ n'est autre que $\mathrm{Im}\, \varphi_{a}$, et la proposition 3 s'applique. $$\boxed{\big\{a^{n} \;|\; n \in \mathbb{Z}\big\} \text{ est un sous-groupe de } G.}$$

3. D'après la proposition 3, $\mathrm{Ker}\, \varphi_{a}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z}\,;+)$. Le résultat admis au chapitre 3 donne alors : $$\boxed{\text{Il existe un unique } d \in \mathbb{N} \text{ tel que } \mathrm{Ker}\, \varphi_{a}=d\mathbb{Z}.}$$

4. On distingue les deux cas.

• Si $d=0$, alors $\mathrm{Ker}\, \varphi_{a}=\{0\}$ : d'après le théorème 1, $\varphi_{a}$ est injectif. Les puissances $a^{n}$ sont donc deux à deux distinctes, et le sous-groupe engendré par $a$ est infini.

• Si $d>0$, alors $a^{d}=e$, et les entiers $n$ vérifiant $a^{n}=e$ sont exactement les multiples de $d$. En particulier $d$ est le plus petit entier strictement positif tel que $a^{d}=e$.

5. On a $\mathrm{i}^{1}=\mathrm{i}$, $\mathrm{i}^{2}=-1$, $\mathrm{i}^{3}=-\mathrm{i}$ et $\mathrm{i}^{4}=1$. Ainsi $\mathrm{i}^{n}=1$ si et seulement si $n$ est un multiple de $4$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, \varphi_{\mathrm{i}}=4\mathbb{Z} \quad;\quad \mathrm{Im}\, \varphi_{\mathrm{i}}=\mathbb{U}_{4} \quad;\quad \mathrm{i} \text{ est d'ordre } 4.}$$

6. Dans $(\mathbb{R}^{*}\,;\times)$, le neutre est $1$. On a $(-1)^{n}=1$ si et seulement si $n$ est pair, tandis que $2^{n}=1$ si et seulement si $n=0$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, \varphi_{-1}=2\mathbb{Z} \text{ : l'élément } -1 \text{ est d'ordre } 2.}$$

$$\boxed{\mathrm{Ker}\, \varphi_{2}=\{0\}=0\mathbb{Z} \text{ : l'élément } 2 \text{ n'est pas d'ordre fini.}}$$ Ce dernier cas fournit d'ailleurs un isomorphisme de $(\mathbb{Z}\,;+)$ sur le sous-groupe $\big\{2^{n} \;|\; n \in \mathbb{Z}\big\}$ de $(\mathbb{R}^{*}\,;\times)$, et l'on retrouve une fois de plus qu'un groupe infini peut être isomorphe à un sous-groupe strict.