ExerciceMaths approfondies, chapitre 4 — Morphismes · Morphismes de groupes

Exercice 2

Calcul

Reprendre les applications de l'exercice 1 qui sont des morphismes, et préciser pour chacune s'il s'agit d'un endomorphisme, d'un isomorphisme, d'un automorphisme, ou d'aucun des trois.

Corrigé

Un endomorphisme va d'un groupe dans lui-même, un isomorphisme est un morphisme bijectif, un automorphisme est les deux à la fois.

	Nature	Justification
1. $x \mapsto 3x$	automorphisme	Même groupe au départ et à l'arrivée, bijectif de réciproque $y \mapsto \frac{y}{3}$ .
4. $x \mapsto x^{2}$ sur $\mathbb{R}^{*}$	endomorphisme seul	$f(-1)=f(1)=1$ : non injectif.
5. $z \mapsto \overline{z}$	automorphisme	Bijectif, de réciproque lui-même.
6. $z \mapsto \|z\|$	aucun des trois	Groupes différents, et non injectif.
7. $x \mapsto \ln(x)$	isomorphisme	Bijectif, de réciproque $\exp$  ; groupes différents.
8. $k \mapsto 5k$	endomorphisme seul	Injectif, mais $1$ n'a pas d'antécédent.
10. $x \mapsto \mathrm{e}^{x}$	isomorphisme	Bijectif, de réciproque $\ln$  ; groupes différents.
11. $x \mapsto \frac{1}{x}$	automorphisme	Bijectif, de réciproque lui-même.
12. $x \mapsto \ln\|x\|$	aucun des trois	Groupes différents, et $f(-1)=f(1)=0$ .

Piège : les questions 7 et 10 fournissent des isomorphismes, mais pas des automorphismes : les groupes de départ et d'arrivée sont différents, même s'ils sont isomorphes.

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Dans l'édifice

Morphismes de groupes

Thèmes

morphismes de groupes, isomorphismes, endomorphismes et automorphismes

Notions

morphisme de groupes, isomorphisme