Exercice 3

1. D'après la propriété 3 du chapitre 3, on a toujours $\iota(xy)=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$, tandis que $\iota(x)\,\iota(y)=x^{-1}y^{-1}$. Ainsi : $$\iota \text{ est un morphisme} \iff \forall (x\,;y) \in G^{2}, \; y^{-1}x^{-1}=x^{-1}y^{-1}$$ Or, lorsque $x$ et $y$ parcourent $G$, les éléments $a=x^{-1}$ et $b=y^{-1}$ parcourent également $G$ tout entier. La condition s'écrit donc $ba=ab$ pour tous $a$ et $b$ de $G$. $$\boxed{\iota \text{ est un morphisme si et seulement si } G \text{ est abélien.}}$$

2. On compare de même : $$c(xy)=(xy)^{2}=xyxy \qquad\text{et}\qquad c(x)\,c(y)=x^{2}y^{2}=xxyy$$ L'égalité $xyxy=xxyy$ équivaut, par régularité à gauche par $x$ puis à droite par $y$, à $yx=xy$. $$\boxed{c \text{ est un morphisme si et seulement si } G \text{ est abélien.}}$$

3. Le groupe $\mathcal{S}\big(\{1\,;2\,;3\}\big)$ n'est pas abélien : l'exercice 11 du chapitre 3 exhibe deux permutations $\sigma$ et $\tau$ telles que $\sigma \circ \tau \neq \tau \circ \sigma$. $$\boxed{\text{Ni } \sigma \mapsto \sigma^{-1}, \text{ ni } \sigma \mapsto \sigma \circ \sigma \text{ n'est un morphisme de ce groupe.}}$$