Exercice 31

1. Par le calcul, les deux membres valent $$\frac{n!}{k!\,(n-k)!} \cdot \frac{(n-k)!}{(p-k)!\,(n-p)!} = \frac{n!}{k!\,(p-k)!\,(n-p)!} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!} \cdot \frac{p!}{k!\,(p-k)!}.$$ Combinatoirement, on choisit d'abord $A$, puis on la complète en $B$ en choisissant $p - k$ éléments parmi les $n - k$ restants ; ou bien on choisit d'abord $B$, puis $A$ à l'intérieur de $B$.

2. En sommant sur $k$ et en factorisant par $\binom{n}{p}$, on obtient $\binom{n}{p}\sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k}$ et $\binom{n}{p}\sum_{k=0}^{p} (-1)^{k}\binom{p}{k}$, que la formule du binôme donne. $$\boxed{\sum_{k=0}^{p} \binom{n}{k}\binom{n-k}{p-k} = 2^{p}\binom{n}{p} \qquad \sum_{k=0}^{p} (-1)^{k}\binom{n}{k}\binom{n-k}{p-k} = 0 \ \ (p \geqslant 1)}$$ La première somme compte les couples $A \subset B$ avec $\mathrm{card}(B) = p$ : il y a $\binom{n}{p}$ choix de $B$, et $2^{p}$ choix de $A$ dans $B$.