Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 3

Calcul algébrique

49 exercices corrigés · 12 23 13 1

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Manipulation des symboles somme et produit

Exercice 1 Écrire chacune des expressions suivantes à l'aide du symbole Σ, et préciser son nombre de termes. (a) 2^3 + 2^4 + … + 2^12 (b) 1/2 + 2/4 + 3/8 + … +…
Exercice 2 On considère deux suites (a_n)_(n ≥ 0) et (S_n)_(n ≥ 0) reliées par ∀ n ∈ ℕ, S_n = Σ_(k=0)^n a_k. 1. Exprimer a_n à l'aide des termes de la suite…
Exercice 3 Soit n ∈ ℕ. Calculer les sommes suivantes. (a) Σ_(k=0)^n (-1)^k (b) Σ_(k=2)^(n+1) k (c) Σ_(k=n+1)^2n 2k (d) Σ_(k=n+1)^2n 2^k (e) Σ_(k=0)^2n (-1)^k k…
Exercice 4 Soit n ∈ ℕ^(). Donner une expression simple des produits suivants, à l'aide de puissances et de factorielles. (a) Π_(k=-1000)^1000 (n^2 - n) (b)…
Exercice 5 Soit n ≥ 2 un entier. Démontrer les égalités suivantes à l'aide d'un changement d'indice bien choisi. 1. Σ_(k=1)^n (1/k - 1/(n + 1 - k)) = 0. 2.…
Exercice 6 Pour n ≥ 1, on pose u_n = Σ_(k=n)^2n 1/k. 1. Écrire u_1, u_2 et u_3 sous forme de fractions irréductibles. 2. Exprimer u_(n+1) - u_n sous la forme…
Exercice 7 Soit n ≥ 1 et x_1, …, x_n des réels. 1. Pour quelle valeur du réel xi a-t-on Σ_(k=1)^n (x_k - xi) = 0 ? Interpréter. 2. On suppose que Σ_(k=1)^n x_k…
Exercice 8 Soit (u_n)_(n ≥ 1) une suite croissante de réels strictement positifs, et n ≥ 1. On veut montrer que ∀ k ∈ [ [1;n] ], (u_1 u_2 … u_k)^n ≤ (u_1 u_2 ……

Sommes usuelles et sommes télescopiques

Exercice 9 1. Calculer S = 1/(2^10) + 1/(2^20) + 1/(2^30) + … + 1/(2^1000) et, pour n ∈ ℕ, T_n = Σ_(k=0)^n (2^(k-1))/(3^(k+1)). 2. On pose u_k = (-2)^k.…
Exercice 10 Soit n ≥ 2 un entier. 1. Calculer Σ_(p=1)^n ln (1 + 1/p) et Σ_(k=2)^n 1/(k^2 - 1). 2. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout k ∈ ℕ,…
Exercice 11 1. Soit n ≥ 1. Calculer Σ_(k=1)^2n (-1)^k k en regroupant les termes deux par deux. 2. Montrer par récurrence que, pour tout n ≥ 1, Σ_(k=1)^n (-1)^k…
Exercice 12 1. En calculant de deux façons la somme télescopique Σ_(k=0)^n ((k+1)^4 - k^4), et en utilisant les sommes usuelles du cours, obtenir une expression…
Exercice 13 1. Déterminer deux réels a et b tels que la suite u_k = (ak + b) 2^k vérifie u_(k+1) - u_k = (k + 2) 2^k pour tout k ∈ ℕ. En déduire Σ_(k=0)^n (k +…
Exercice 14 Soit n ∈ ℕ^() et q ∈ ℝ setminus 1. Le but est de calculer de trois façons la somme S_n = Σ_(k=0)^n k q^k. 1. Exprimer S_(n+1) en fonction de S_n de…
Exercice 15 1. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^() et tout réel a > 1, (a^n - 1)/(a - 1) ≤ n a^(n-1). On pourra utiliser la factorisation de a^n - 1. 2. Montrer…
Exercice 16 Transformation d'Abel. Soit (a_k)_(k ≥ 0) et (B_k)_(k ≥ 0) deux suites de réels. On pose A_n = Σ_(k=0)^n a_k et b_k = B_(k+1) - B_k. 1. Montrer que,…

Sommes doubles

Exercice 17 Les figures représentent, pour n = 4 et m = 6, les ensembles d'indices (i,j) des trois sommes suivantes, que l'on demande d'écrire en sommant…
Exercice 18 Soit n ∈ ℕ^(). Calculer les sommes suivantes, où i et j sont des entiers. (a) Σ_(1 ≤ i ≤ j ≤ n) 1 (b) Σ_(1 ≤ i, j ≤ n) i (c) Σ_(1 ≤ i ≤ j ≤ n) i (d)…
Exercice 19 Soit n ∈ ℕ^() et x un réel strictement positif. Simplifier les produits suivants. Π_(1 ≤ i, j ≤ n) x^(i+j), Π_(1 ≤ i, j ≤ n) i^(j), Π_(1 ≤ i, j ≤ n)…
Exercice 20 Pour n ∈ ℕ, on note S_n = Σ_(1 ≤ i, j ≤ n) ij, avec S_0 = 0. 1. Exprimer S_n en fonction de Σ_(k=1)^n k. 2. Soit (a_i,j)_(i,j) ∈ [ [1;n+1] ]^2 une…
Exercice 21 Soit n ≥ 1 et x_1, …, x_n des réels strictement positifs. Montrer que (Σ_(i=1)^n x_i) (Σ_(j=1)^n 1/(x_j)) ≥ n^2. On écrira le produit comme une…
Exercice 22 Inégalité de Tchebychev. Soit n ≥ 1, et a_1 ≤ a_2 ≤ … ≤ a_n, b_1 ≤ b_2 ≤ … ≤ b_n deux familles croissantes de réels. Montrer que 1/n Σ_(k=1)^n a_k…
Exercice 23 Pour n, p ∈ ℕ, on note S_n^((p)) = Σ_(i=0)^n i^p, avec la convention 0^0 = 1. 1. Soit n, p ∈ ℕ. En calculant de deux façons la somme Σ_(0 ≤ i < j ≤…
Exercice 24 Soit n ≥ 1. Calculer Σ_(i,j,k) ∈ [ [1;n] ]^3 min (i, max (j,k)). On pourra commencer par dénombrer, pour tout entier m compris entre 1 et n, les…

Coefficients binomiaux et formule du binôme

Exercice 25 1. Soit n ∈ ℕ. Simplifier (n + 1)! - n!, ((n + 3)!)/((n + 1)!) et (n + 2)/((n + 1)!) - 1/(n!). 2. Soit a et b deux réels non nuls, et u_n =…
Exercice 26 Soit n ∈ ℕ^(). Calculer les sommes suivantes à l'aide de la formule du binôme. Σ_(k=0)^n binom n{k} 2^k, Σ_(k=0)^n (-1)^k binom n{k}, Σ_(k=0)^n…
Exercice 27 Soit n ≥ 2. En utilisant la formule du pion kdbinom n{k} = ndbinom n-1k-1, calculer Σ_(k=0)^n k(k - 1)binom n{k}, Σ_(k=0)^n k^2 binom n{k},…
Exercice 28 La figure représente les coefficients dbinom 8k pour 0 ≤ k ≤ 8. 1. Soit n ∈ ℕ^(). Pour 0 ≤ k ≤ n - 1, calculer le quotient dbinom n{k+1} / dbinom…
Exercice 29 Pour n ∈ ℕ^() et x ∈ ℝ, on pose P_n(x) = Π_(k=1)^n (1 + x/k). 1. Calculer P_n(0), P_n(1) et P_n(-n). 2. Montrer que, pour tout réel x, x P_n(x) = (x…
Exercice 30 Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^(), le nombre (3 + √5)^n + (3 - √5)^n est un entier naturel pair. En déduire que l'entier qui suit (3 + √5)^n est pair.
Exercice 31 Soit n ∈ ℕ^() et p ∈ [ [0;n] ]. 1. Montrer que, pour tout k ∈ [ [0;p] ], dbinom n{k}dbinom n-k{p-k} = dbinom n{p}dbinom p{k}. Interpréter ce…
Exercice 32 1. Soit p ∈ ℕ. Montrer que 2dbinom 2p+1p = dbinom 2p+2p+1. 2. Pour n ∈ ℕ, on pose S_n = Σ_(k=0)^n binom n+k{k} 1/(2^k). Calculer S_0, S_1, S_2, puis…
Exercice 33 On note (F_n)_(n ≥ 0) la suite de Fibonacci, définie par F_0 = 0, F_1 = 1 et F_(n+2) = F_(n+1) + F_n. Montrer que ∀ n ∈ ℕ, Σ_(k=0)^n binom n-k{k} =…
Exercice 34 Pour n ∈ ℕ, on pose S_n = Σ_(k=0)^n (-1)^k binom n-k{k}. 1. Calculer S_0, …, S_7, et formuler une conjecture. 2. Montrer que S_(n+2) = S_(n+1) - S_n…
Exercice 35 On utilise la formule de la crosse de hockey: pour tous entiers 0 ≤ p ≤ n, Σ_(k=p)^n binom k{p} = binom n+1p+1. 1. Calculer 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 +…
Exercice 36 Formule de Vandermonde. Soit a, b, q trois entiers naturels. On considère deux ensembles disjoints A et B, à a et b éléments. 1. Pour k ∈ [ [0;q] ],…
Exercice 37 1. En écrivant (a + b + c)^7 = ((a + b) + c)^7 et en appliquant deux fois la formule du binôme, déterminer le coefficient de a^2b^4c dans le…

Systèmes linéaires

Exercice 38 Résoudre les systèmes suivants par la méthode du pivot, en indiquant à chaque étape les opérations effectuées. (a) { begin array{rcrcrcl} x & + & 2y…
Exercice 39 1. Déterminer les réels a, b, c tels que la courbe d'équation y = ax^2 + bx + c passe par les points A(1,2), B(2,3) et C(3,6) de la figure. 2. Même…
Exercice 40 Soit m un réel. Résoudre, selon les valeurs de m, le système { begin array{rcrcrcl} mx & + & y & - & z & = & 0 & & y & + & 3z & = & m x & + & y & +…
Exercice 41 Soit m un réel. On considère les trois plans de l'espace P_1: mx + 2y + 3z = 3, P_2: (m - 1)x + my + z = 1, P_3: (m + 1)x + my + (m - 1)z = m - 1.…
Exercice 42 Soit n ≥ 2 un entier et a, b deux réels. On cherche les n -uplets (x_1, …, x_n) de réels tels que a x_1 + b = x_2, a x_2 + b = x_3, …, a x_(n-1) + b…

Exercices de synthèse

Exercice 43 Vrai ou faux. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse par une démonstration ou un…
Exercice 44 Deux équilibres. Soit n ∈ ℕ^(), et α, β deux réels. On cherche les familles (x_0, x_1, …, x_(n+1)) de réels telles que x_0 = α et x_(n+1) = β, et…
Exercice 45 On dit que des droites du plan sont en position générale si deux d'entre elles ne sont jamais parallèles et si trois d'entre elles ne sont jamais…
Exercice 46 Soit n ∈ ℕ et p ∈ ℕ^(). On note E_n,p l'ensemble des p -uplets (x_1, …, x_p) d'entiers naturels tels que x_1 + … + x_p = n. 1. Déterminer E_n,1,…
Exercice 47 Soit m ∈ ℕ^(). Démontrer, sans raisonner par récurrence, que Σ_(n=0)^m Σ_(q=0)^n Σ_(p=0)^q binom n{p}binom n-p{n-q} = (3^(m+1) - 1)/2. On pourra…
Exercice 48 Numération en base -2. Soit p ∈ ℤ. On appelle écriture de p en base -2 toute famille finie (ε_0, …, ε_N) d'éléments de 0, 1 telle que p = Σ_(k=0)^N…
Exercice 49 Soit (w_n)_(n ∈ ℕ) une suite strictement croissante d'entiers strictement positifs. On note P_f(ℕ) l'ensemble des parties finies de ℕ, et l'on…