Exercice 1

Pour chaque expression, on repère la forme du terme général et les valeurs extrêmes de l'indice. Le nombre de termes d'une somme de $m$ à $n$ est $n - m + 1$.

• (a) $\displaystyle\sum_{k=3}^{12} 2^{k}$, qui a $10$ termes.

• (b) $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \frac{k}{2^{k}}$, qui a $10$ termes, puisque $1024 = 2^{10}$.

• (c) $\displaystyle\sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1}\, 2k$, qui a $25$ termes : les termes sont les entiers pairs de $2$ à $50$, affectés du signe $+$ lorsque $k$ est impair.

• (d) $\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$, qui a $2n$ termes.

• (e) $\displaystyle\sum_{k=n}^{2n} k = \sum_{j=0}^{n} (n + j)$, qui a $n + 1$ termes, et non $n$.

• (f) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{x_{k}}{x_{n+1-k}}$, qui a $n$ termes : la somme des deux indices vaut toujours $n + 1$.

Piège : pour une somme alternée, le signe s'écrit $(-1)^{k}$ ou $(-1)^{k+1}$ selon le signe du premier terme ; on vérifie toujours la formule sur les deux premiers termes.