ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 3 — Calcul algébrique · Manipulation des symboles somme et produit

Exercice 2

Calcul

On considère deux suites $(a_{n})_{n \geqslant 0}$ et $(S_{n})_{n \geqslant 0}$ reliées par $\forall n \in \mathbb{N},\quad S_{n} = \sum_{k=0}^{n} a_{k}.$

1. Exprimer $a_{n}$ à l'aide des termes de la suite $(S_{n})$ , en distinguant le cas $n = 0$ .

2. Exprimer à l'aide des termes de la suite $(S_{n})$ les sommes suivantes : $\sum_{k=0}^{n+1} a_{k}, \qquad \sum_{k=n+1}^{2n} a_{k}, \qquad \sum_{k=0}^{n} 2a_{k}, \qquad \sum_{k=0}^{n} (a_{k} - 1), \qquad \sum_{k=0}^{n} (a_{k} - k).$

Corrigé

1. Pour $n \geqslant 1$ , la relation de Chasles donne $S_{n} = S_{n-1} + a_{n}$ . $\boxed{a_{0} = S_{0} \qquad\text{et}\qquad a_{n} = S_{n} - S_{n-1} \ \text{ pour } n \geqslant 1}$

2. On utilise la relation de Chasles, la linéarité et la somme d'une constante, qui compte $n + 1$ termes de $0$ à $n$ . $\boxed{\sum_{k=0}^{n+1} a_{k} = S_{n+1} \qquad \sum_{k=n+1}^{2n} a_{k} = S_{2n} - S_{n} \qquad \sum_{k=0}^{n} 2a_{k} = 2S_{n}}$

$\boxed{\sum_{k=0}^{n} (a_{k} - 1) = S_{n} - (n + 1) \qquad \sum_{k=0}^{n} (a_{k} - k) = S_{n} - \frac{n(n+1)}{2}}$ Attention : l'erreur la plus répandue est d'écrire $\sum_{k=0}^{n} (a_{k} - 1) = S_{n} - 1$ : la constante $1$ est retranchée à chacun des $n + 1$ termes.

Énoncé PDF, p. 1 Corrigé PDF, p. 1 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Sommes, produits et puissances

Thèmes

sommes et produits