Exercice 3

• (a) C'est une somme géométrique de raison $-1$, qui vaut $1$ si $n$ est pair et $0$ s'il est impair. $$\boxed{\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} = \frac{1 + (-1)^{n}}{2}}$$

• (b) On retire le terme $k = 1$ à la somme de $1$ à $n + 1$ : $\dfrac{(n+1)(n+2)}{2} - 1$. $$\boxed{\sum_{k=2}^{n+1} k = \frac{n(n+3)}{2}}$$

• (c) Par différence, $2\Big(\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} k - \sum_{k=1}^{n} k\Big) = 2n(2n+1) - n(n+1)$. $$\boxed{\sum_{k=n+1}^{2n} 2k = n(3n + 1)}$$

• (d) Somme géométrique de premier terme $2^{n+1}$, de raison $2$, à $n$ termes : $2^{n+1}(2^{n} - 1)$. $$\boxed{\sum_{k=n+1}^{2n} 2^{k} = 2^{2n+1} - 2^{n+1}}$$

• (e) On regroupe les termes deux par deux après le terme nul, ce qui donne $n$ paires valant $1$ : $$(-1 + 2) + (-3 + 4) + \cdots + \big(-(2n-1) + 2n\big).$$

• (f) Le changement d'indice $j = n - k$ redonne la somme (a). $$\boxed{\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} = \frac{1 + (-1)^{n}}{2}}$$

• (g) La fonction $k \mapsto k(10 - k)$ est symétrique par rapport à $5$, ce qui invite à poser $j = k - 5$, qui décrit $[\![-10\,;10]\!]$. Alors $k(10 - k) = (5 + j)(5 - j) = 25 - j^{2}$, et $$\sum_{k=-5}^{15} k(10 - k) = \sum_{j=-10}^{10} (25 - j^{2}) = 21 \times 25 - 2\sum_{j=1}^{10} j^{2} = 525 - 770.$$

• (h) Le changement d'indice $j = n - k + 1$ donne la somme des entiers de $1$ à $n$. $$\boxed{\sum_{k=1}^{n} (n - k + 1) = \frac{n(n+1)}{2}}$$