Exercice 4

• (a) Le facteur ne dépend pas de $k$ : c'est un produit de $2001$ facteurs égaux. $$\boxed{(n^{2} - n)^{2001}}$$

• (b) On sort le facteur $2$ de chacun des $n$ facteurs : $\boxed{2^{n}\, n!}$

• (c) $\displaystyle\prod_{k=n+1}^{2n} k = \frac{(2n)!}{n!}$, d'où $\boxed{\Big(\dfrac{(2n)!}{n!}\Big)^{2}}$

• (d) On complète par les facteurs pairs : $(2n+1)! = \displaystyle\prod_{k=1}^{n} (2k) \times \prod_{k=0}^{n} (2k + 1)$, d'où $\boxed{\dfrac{(2n+1)!}{2^{n}\, n!}}$

• (e) Le produit des exponentielles est l'exponentielle de la somme : $\boxed{\mathrm{e}^{-n(n+1)/2}}$

• (f) De même, $\boxed{2^{n(n+1)/2}}$

• (g) Produit télescopique, puisque $1 - \frac{1}{k} = \frac{k-1}{k}$ : $\boxed{\dfrac{1}{n}}$

• (h) Produit télescopique de pas $2$ : $\displaystyle\prod_{k=1}^{n} \frac{k+2}{k} = \frac{3 \times 4 \times \cdots \times (n+2)}{1 \times 2 \times \cdots \times n}$, d'où $\boxed{\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}}$

• (i) On factorise $4k^{2} - 1 = (2k - 1)(2k + 1)$, et chaque produit se traite comme en (d) : $$\prod_{k=1}^{n} (2k - 1) = \frac{(2n)!}{2^{n}\, n!} \qquad\text{et}\qquad \prod_{k=1}^{n} (2k + 1) = \frac{(2n+1)!}{2^{n}\, n!}.$$

$$\boxed{\prod_{k=1}^{n} (4k^{2} - 1) = \frac{(2n)!\,(2n+1)!}{4^{n}\,(n!)^{2}}}$$ Pour $n = 1$, on trouve bien $\frac{2 \times 6}{4} = 3$.

• (j) On sépare les deux facteurs ; le changement d'indice $j = n + 1 - k$ montre que $$\prod_{k=1}^{n} (n + 1 - k) = n!.$$

Piège : en (a), l'indice $k$ ne figure pas dans le facteur ; seul compte le nombre de facteurs, qui vaut $2001$.