Exercice 5

1. Le changement d'indice $j = n + 1 - k$ est une bijection de $[\![1\,;n]\!]$ sur lui-même, donc $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1-k} = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j}.$$

$$\boxed{\sum_{k=1}^{n} \Big(\frac{1}{k} - \frac{1}{n+1-k}\Big) = 0}$$ La somme de droite est la même que celle de gauche, parcourue à l'envers : c'est l'argument de Gauss du cours.

2. On pose $j = 2n - k$ : lorsque $k$ décrit $[\![n+1\,;2n-1]\!]$, $j$ décrit $[\![1\,;n-1]\!]$, et $$\sin\frac{k\pi}{2n} = \sin\Big(\pi - \frac{j\pi}{2n}\Big) = \sin\frac{j\pi}{2n}.$$

3. Le changement d'indice $j = n - k$ donne $$\sum_{k=0}^{n} \frac{k}{n - k + 1} = \sum_{j=0}^{n} \frac{n - j}{j + 1} = \sum_{j=0}^{n} \frac{(n + 1) - (j + 1)}{j + 1} = (n + 1)\sum_{j=0}^{n} \frac{1}{j + 1} - (n + 1).$$