ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 3 — Calcul algébrique · Manipulation des symboles somme et produit

Exercice 6

Calcul

Pour $n \geqslant 1$ , on pose $\displaystyle u_{n} = \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k}$ .

1. Écrire $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ sous forme de fractions irréductibles.

2. Exprimer $u_{n+1} - u_{n}$ sous la forme d'une seule fraction. L'erreur la plus répandue consiste à croire que $u_{n+1} - u_{n}$ ne comporte qu'un terme : combien de termes de $u_{n}$ disparaissent-ils, et combien de termes nouveaux apparaissent-ils ?

3. En déduire le sens de variation de la suite $(u_{n})_{n \geqslant 1}$ .

Corrigé

1. On calcule directement : $\boxed{u_{1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \qquad u_{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{13}{12} \qquad u_{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{19}{20}}$

2. La somme $u_{n+1}$ va de $n + 1$ à $2n + 2$ : par rapport à $u_{n}$ , elle perd le terme $\frac{1}{n}$ et gagne les deux termes $\frac{1}{2n+1}$ et $\frac{1}{2n+2}$ . $u_{n+1} - u_{n} = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n} = \frac{2n(n+1) + n(2n+1) - 2(n+1)(2n+1)}{2n(n+1)(2n+1)}.$

\boxed{u_{n+1} - u_{n} = -\frac{3n + 2}{2n(n+1)(2n+1)}}

3. Cette différence est strictement négative. $\boxed{\text{La suite } (u_{n}) \text{ est strictement décroissante.}}$ Étant minorée par $0$ , elle converge, d'après le chapitre 7 ; le chapitre 18 montrera que sa limite est $\ln 2$ .

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