Exercice 7

1. Par linéarité, $\sum_{k=1}^{n} (x_{k} - \xi) = \sum_{k=1}^{n} x_{k} - n\xi$. $$\boxed{\xi = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} x_{k}}$$ C'est la moyenne des $x_{k}$ : c'est l'unique réel autour duquel les écarts se compensent exactement.

2. En développant, puis en utilisant les deux hypothèses, $$\sum_{k=1}^{n} (x_{k} - 1)^{2} = \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} - 2\sum_{k=1}^{n} x_{k} + n = n - 2n + n = 0.$$ Une somme de réels positifs n'est nulle que si chaque terme est nul. $$\boxed{x_{k} = 1 \text{ pour tout } k}$$ Les hypothèses disent que la moyenne vaut $1$ et que la moyenne des carrés vaut $1$ : la variance, moyenne des carrés des écarts à la moyenne, est donc nulle.