Exercice 8

1. En élevant l'inégalité à la puissance $\frac{1}{kn}$, qui est croissante sur $\mathbb{R}_{+}$, elle équivaut à $$\boxed{g_{k} \leqslant g_{n}}$$ la moyenne géométrique des $k$ premiers termes d'une suite croissante est inférieure à celle des $n$ premiers.

2. Chacun des $k$ facteurs $u_{1}$, …, $u_{k}$ est majoré par $u_{k}$, et chacun des $n - k$ facteurs $u_{k+1}$, …, $u_{n}$ est minoré par $u_{k}$, la suite étant croissante. Tous les nombres étant strictement positifs, $$(u_{1} \cdots u_{k})^{n-k} \leqslant u_{k}^{\,k(n-k)} \leqslant (u_{k+1} \cdots u_{n})^{k}.$$

3. On multiplie l'inégalité précédente par $(u_{1} \cdots u_{k})^{k} > 0$ : $$(u_{1} \cdots u_{k})^{n} \leqslant (u_{1} \cdots u_{k})^{k} \times (u_{k+1} \cdots u_{n})^{k} = (u_{1} \cdots u_{n})^{k}.$$

$$\boxed{(u_{1} u_{2} \cdots u_{k})^{n} \leqslant (u_{1} u_{2} \cdots u_{n})^{k}}$$ À retenir : on compare deux produits en les découpant en blocs que l'on sait comparer facteur à facteur ; c'est le pendant multiplicatif de la relation de Chasles.