ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 3 — Calcul algébrique · Sommes usuelles et sommes télescopiques

Exercice 9

Calcul

1. Calculer $\displaystyle S = \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{2^{20}} + \frac{1}{2^{30}} + \cdots + \frac{1}{2^{1000}}$ et, pour $n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle T_{n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^{k-1}}{3^{k+1}}$ .

2. On pose $u_{k} = (-2)^{k}$ . Calculer, pour $n \in \mathbb{N}$ , $\sum_{k=0}^{2n} u_{k}, \qquad \sum_{k=0}^{2n+1} u_{k}, \qquad \sum_{k=0}^{n} u_{2k}, \qquad \sum_{k=0}^{2n} (u_{k} + n), \qquad \Big(\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\Big) + n, \qquad \sum_{k=0}^{n} u_{k+n}.$

Corrigé

1. La somme $S$ a $100$ termes, de premier terme $2^{-10}$ et de raison $2^{-10}$ . Pour $T_{n}$ , on sort le facteur $\frac{1}{6}$ : $T_{n} = \frac{1}{6}\sum_{k=0}^{n} \big(\frac{2}{3}\big)^{k}$ . $\boxed{S = \frac{1}{2^{10}} \cdot \frac{1 - 2^{-1000}}{1 - 2^{-10}} = \frac{1 - 2^{-1000}}{2^{10} - 1} \qquad T_{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n}}$

2. On applique la formule de la somme géométrique, de raison $-2$ ou $4$ : $\boxed{\sum_{k=0}^{2n} u_{k} = \frac{1 + 2^{2n+1}}{3} \qquad \sum_{k=0}^{2n+1} u_{k} = \frac{1 - 2^{2n+2}}{3} \qquad \sum_{k=0}^{n} u_{2k} = \frac{4^{n+1} - 1}{3}}$

\boxed{\sum_{k=0}^{2n} (u_{k} + n) = \frac{1 + 2^{2n+1}}{3} + n(2n+1) \qquad \Big(\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\Big) + n = \frac{1 + 2^{2n+1}}{3} + n}

$\boxed{\sum_{k=0}^{n} u_{k+n} = (-2)^{n}\,\frac{1 - (-2)^{n+1}}{3}}$ Piège : les quatrième et cinquième sommes diffèrent : dans la première, la constante $n$ est ajoutée à chacun des $2n + 1$ termes. Les parenthèses ne sont pas décoratives.

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