Exercice 10

1. On écrit $\ln\big(1 + \frac{1}{p}\big) = \ln(p + 1) - \ln p$, et $\frac{1}{k^{2}-1} = \frac{1}{2}\big(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k+1}\big)$ ; dans le second cas, le télescopage se fait avec un pas de $2$, et il reste deux termes à chaque bout. $$\boxed{\sum_{p=1}^{n} \ln\Big(1 + \frac{1}{p}\Big) = \ln(n + 1) \qquad \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{2} - 1} = \frac{1}{2}\Big(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\Big) = \frac{3}{4} - \frac{2n + 1}{2n(n+1)}}$$

2. En réduisant au même dénominateur, $a(k + 3) + b(k + 1) = 1$ pour tout $k$, donc $a + b = 0$ et $3a + b = 1$. $$\boxed{a = \frac{1}{2},\ b = -\frac{1}{2} \qquad \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k+1)(k+3)} = \frac{1}{2}\Big(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\Big) = \frac{3}{4} - \frac{2n + 5}{2(n+2)(n+3)}}$$

3. En multipliant par $k$ puis en faisant $k = 0$, on obtient $a = \frac{1}{2}$ ; de même, $b = -1$ et $c = \frac{1}{2}$. On regroupe les termes en deux différences de même forme : $$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\Big).$$

$$\boxed{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}}$$ À retenir : ces décompositions sont des décompositions en éléments simples, qui seront systématisées au chapitre 13.