Exercice 11

1. Les $2n$ termes forment $n$ paires $(-(2p - 1) + 2p) = 1$. $$\boxed{\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k} k = n}$$

2. Notons $T_{n}$ la somme. Pour $n = 1$, $T_{1} = -1 = \frac{-3 - 1}{4}$. Si la formule est vraie au rang $n$, alors $$\begin{aligned} T_{n+1} &= \frac{(-1)^{n}(2n+1) - 1}{4} + (-1)^{n+1}(n + 1) \\ &= \frac{(-1)^{n+1}\big(-(2n+1) + 4(n+1)\big) - 1}{4} = \frac{(-1)^{n+1}(2n+3) - 1}{4}. \end{aligned}$$

$$\boxed{\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k} k = \frac{(-1)^{n}(2n+1) - 1}{4}}$$ Pour $2n$ termes, on trouve $\frac{(4n+1) - 1}{4} = n$, en accord avec la question 1.

3. Pour $k \leqslant 2n$, le minimum vaut $k$, et pour $k > 2n$, il vaut $2n$ : $$\sum_{k=n}^{3n} \min(k, 2n) = \sum_{k=n}^{2n} k + \sum_{k=2n+1}^{3n} 2n = \frac{3n(n+1)}{2} + 2n^{2}.$$

$$\boxed{\sum_{k=n}^{3n} \min(k, 2n) = \frac{n(7n + 3)}{2}}$$ Pour $n = 1$, on trouve bien $1 + 2 + 2 = 5$.